4.4. Исследование функции нескольких переменных на равномерную непрерывность
1. Является ли функция равномерно непрерывной на множестве ?
Решение:
Найдем область определения данной функции:
По теореме Кантора функция является равномерно непрерывной на компактном множестве, если она непрерывна на этом множестве.
а) Докажем, что функция непрерывна на своей области определения.
– непрерывна на области определения
как сумма непрерывных функций;
– непрерывна на области определения
как суперпозиция непрерывных функций;
– непрерывна на области определения
как разность непрерывных функций;
– непрерывна на области определения
как суперпозиция непрерывных функций;
– непрерывна на области определения
как суперпозиция непрерывных функций;
б) Множество A является ограниченным и замкнутым и входит в область определения функции . Значит, функция равномерно непрерывна на множестве A по теореме Кантора.
2. Дана функция
.
Будет ли функция
равномерно-непрерывной в области
?
Решение:
Данная функция не является
равномерно-непрерывной, так как для
последовательностей
,
справедливо соотношение
При
,
а расстояние между значениями функции
в соответствующих точках
не может быть меньше числа
.
Ответ: не равномерно-непрерывна в этой области.
3. Исследовать на равномерную
непрерывность линейную функцию
.
Решение:
Определение равномерной непрерывности:
По определению:
и
Зафиксируем
Оценим функцию выражением:
Мы нашли
для которого выполняется условие
функция равномерно непрерывна.
Ответ: функция равномерно непрерывна.
5.1. Применение локальных свойств функции нескольких переменных для решения задач
1. Является ли функция
,
где
непрерывной при
?
Решение:
Функция
непрерывна при любых значениях переменных.
Функции
и
непрерывны в точке (3;7). Следовательно,
по свойству непрерывности сложной
функции, функция
непрерывна в заданной точке.
2. Доказать, что функция
положительна в некоторой окрестности точки .
Решение:
Функция
непрерывна в точке
,
так как
=
=
= 5 =
.
Следовательно, применима теорема о
сохранении знака, а значит функция в
некоторой окрестности точки
положительна.
5.2. Применение глобальных свойств функции нескольких переменных для решения задач
1. Является ли функция
ограниченной на множестве
?
Решение:
Рассмотрим данное множество:
Получим окружность с центром в точке
.
Данная окружность является замкнутым
ограниченным множеством. Функция
является непрерывной на этом множестве.
Отсюда по теореме об ограниченности
получим, что функция ограничена на этом
множестве.
Ответ: функция ограничена на множестве.
2. Является ли компактным множеством множество значений функции определенной на замкнутой сфере радиуса ?
Решение:
Так как область определения – ограниченное замкнутое множество и функция непрерывна как многочлен от элементарных функций, то по теоремам о ограниченности, достижении точных граней, и промежуточных значениях получаем, что область значений будет иметь вид ограниченного замкнутого множества, которое будет являться компактным по признаку компактного множества.