3. Доказать на языке приращений, что функция непрерывна в точке
Решение:
Запишем условие на языке приращений в случае функции :
.
Следовательно, бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции и, следовательно, она непрерывна.
4. Доказать непрерывность функции в точке .
Решение:
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия в точке :
Точка принадлежит области определения функции , которая совпадает с множеством .
В точке существует предел, так как она непрерывна как сумма произведений элементарных непрерывных функций.
Предел в точке равен значению этой функции в точке:
=0.
Ответ: Условия выполнены, следовательно, функция в точке непрерывна.
5. Определить множество, на котором
непрерывна функция
.
Решение:
Исследуем функцию f на непрерывность.
– непрерывна как разность непрерывных
функций.
– непрерывна на области определения
как суперпозиция двух непрерывных
функций.
– непрерывна на области определения
как суперпозиция двух непрерывных
функций.
– непрерывна на области определения
как суперпозиция двух непрерывных
функций.
Найдём область определения данной функции:
Следовательно
– множество, на котором функция
непрерывна.
6. Доказать, что функция в точке непрерывна вдоль каждого луча , , , однако эта функция не является непрерывной в точке .
Решение:
Условие непрерывности функции
вдоль каждого луча
, , ,
равносильно существованию предела
.
Найдем предел
.
Таким образом предельное значение и значение функции в точке О совпадают, следовательно функция непрерывна в точке О по любому из данных лучей.
Проверим непрерывность функции в точке О
.
Рассмотрим последовательность точек
,
.
Следовательно функция разрывна в точке .
7. Доказать, что функция непрерывна по каждой переменной , но не является непрерывной по совокупности этих переменных.
Решение:
Пусть
и
- любые фиксированные числа.
Тогда
Если
,
то при любом
Если
и
.
Таким образом, при каждом фиксированном
функция
непрерывна по переменной
Ввиду симметрии функции относительно
и
при любом фиксированном
функция
непрерывна по переменной
.
Однако функция
не является непрерывной по совокупности
переменных в точке
Проверим с помощью последовательностей
и
,
которые сходятся при
к точке
Но соответствующие им последовательности
значений функции сходятся при
к различным предельным значениям:
Ответ: функция непрерывна по каждой переменной, но не является непрерывной по совокупности этих переменных.
8. Доказать, что функция непрерывна на области её определения.
Решение:
Проведём декомпозицию данной функции:
– непрерывна на своей области определения
как простейшая элементарная функция;
– непрерывна на своей области определения
как частное двух непрерывных функций;
– непрерывна на своей области определения
как суперпозиция непрерывных функций;
– непрерывна на своей области определения
как сумма двух непрерывных функций;
– непрерывна на своей области определения
как суперпозиция непрерывных функций;
– непрерывна на своей области определения
как суперпозиция непрерывных функций;
– непрерывна на своей области определения
как суперпозиция непрерывных функций.