1. Найти и , если:
Решение:
При фиксированном
поэтому, в силу непрерывности тангенса,
получаем
.
Пусть теперь
фиксированное. Тогда, пользуясь тем,
что
имеем
На основании этих равенств находим
Ответ:
2. Найти повторные пределы:
, 
.
Решение:
По 2-му замечательному пределу:
,
по 1-му замечательному пределу:
.
Последовательно используя замечательные пределы:
.
Ответ:
,
.
3.7. Нахождение предела функции нескольких переменных по направлению
1. Чему равен предел функции в точке вдоль луча (кривой)
Решение:
Чтобы определить к чему стремится
,
подставим в уравнение луча (кривой)
точку
Получим
или
Но при
не будет стремиться к 0. Рассмотрим
предел при
Ответ: предел равен 0.
2. Найти, вдоль какой линии предел равен
Решение:
Уравнение линии
.
Найдем
:
,
.
Отсюда получаем, что
вдоль линии
.
Проверка:
Ответ: .
3. Найти линию, по которой предел
.
Решение:
Рассмотрим
,
тогда
.
Найдем полученный предел.
по условию задачи, следовательно
,
тогда
.
Следовательно
.
Тогда искомая линия
.
Ответ: .
3.8. Нахождение точек разрыва функции нескольких переменных
1. Определить, терпит ли функция разрыв в точке ?
Решение:
Найдем предел
:
.
Следовательно, точка – точка устранимого разрыва.
Ответ: точка – точка устранимого разрыва.
2. Показать, что множество точек разрыва функции , если , и , не является замкнутым.
Решение:
Пусть
,
,
где
− произвольное фиксированное число.
Тогда последовательность
при
сходится к точке
.
Из соотношения
,
,
Следует, что
,
− точка разрыва функции
.
А из неравенства
следует непрерывность функции
в точке
.
Таким образом, множество точек разрыва
функции
заполняет сплошь ось
,
за исключением точки
,
которая является предельной точкой
этого множества. Следовательно, множество
точек разрыва функции
не содержит всех своих предельных точек,
а поэтому не является замкнутым.
Ответ: множество точек разрыва функции не является замкнутым.
3. Найти множество точек разрыва функции .
Решение:
Знаменатель не должен равняться 0:
А это уравнение окружности. Значит,
множеством точек разрыва для данной
функции будет являться окружность
радиуса 1 с центром в точке
.
Ответ: множество точек разрыва – окружность.
3.9. Нахождение параметров, при которых функция нескольких переменных непрерывна
1. Найти a при котором функция будет непрерывна в точке
Решение:
При a=1, функция будет непрерывна в точке
Ответ: a =1.
2. Выяснить, при каком значении параметра , функция непрерывна.
Решение:
Функция
непрерывна на всей области действительных
чисел, кроме точки
как композиция простых функций
(элементарных, а, следовательно,
непрерывных). В точке
для того, чтобы функция
была непрерывной предельное значение
(1) должно быть равно значению функции
в этой точке:
(1)
Используя замечательные пределы, получаем:
,
значит, для того, чтобы функция была
непрерывной в точке
,
.
Ответ: .