3.1. Нахождение области существования функции нескольких переменных

1. Найти область определения .

Решение:

Областью определения служит m-мерный шар радиуса 1 с центром в точке О(0,0…,0), так как условие существования функции совпадает есть расстояние до этой точки ограниченное сверху.

2. Найти множество на котором функция определена.

Решение:

Подкоренное выражение должно быть : , а аргумент у :

и Решим систему из полученных неравенств:

Ответ:

3.2. Нахождение области значения функции нескольких переменных

1. Найти область значений функции .

Решение:

Функция определена на множестве положительных действительных чисел, т.е. . Поэтому, для нашего случая имеем .

.

С другой стороны, функция при принимает значения , следовательно, при

Ответ: .

3.3. Нахождение линий уровня функции нескольких переменных

1. Найти линии уровня для функции

Решение:

Линией уровня, будет являться множество точек , .

очевидно, что это будет множество концентрических окружностей радиуса

Ответ: Линии уровня – множество концентрических окружностей радиуса

3.4. Нахождение поверхностей уровня функции нескольких переменных

1. Какие геометрические фигуры образуют поверхности уровня функции ?

Решение:

Рассмотрим .

При , данное уравнение описывает конус.

При , данное уравнение описывает однополосный гиперболоид.

При , данное уравнение описывает двуполостный гиперболоид.

3.5.1. Нахождение двойных пределов функции нескольких переменных без использования замечательных пределов

1. Найти двойной предел:

Решение:

Пользуясь очевидным неравенством , получаем (при , )

.

Полученная оценка позволяет нам применить теорему о зажатой последовательности. Совершим предельный переход:

.

Таким образом, .

Ответ: .

2. Найти двойной предел:

Решение:

Пользуясь элементарным неравенством

,

справедливым при , , получаем оценку функции сверху и снизу и применяем теорему о зажатой последовательности:

, .

Отсюда .

Ответ: .

3.5.2.1. Нахождение двойных пределов функции нескольких переменных с использованием первого замечательного предела

1. Найти двойной предел

Решение:

Имеем , . Заменим на , тогда при , так же стремится к нулю. Так как , то

.

Ответ:

3.5.2.2. Нахождение двойных пределов функции нескольких переменных с использованием второго замечательного предела

1. Найти двойной предел

Решение:

В силу непрерывности показательной и логарифмической функций, используя 2-ой замечательный предел, имеем

Ответ:

3.6.1. Нахождение повторных пределов функции нескольких переменных без использования замечательных пределов

1. Равны ли пределы и ?

Решение:

Найдем оба этих предела:

.

Очевидно, что .

2. Вычислить повторные пределы для выражения .

Решение:

3.6.2. Нахождение повторных пределов функции нескольких переменных с помощью замечательных пределов