1. Функция

Функция – одно из основн. понятий мат анализа. Впервые ввел Лейбниц, обобщили Эйлер, Фурье, Коши и Лобачевский.

Опр. всякое мн-во f={(x,y)} упорядоч. пар (x,y), xX, yY, такое что для любых (x’,y’)f и (x’’,y’’)f из условия y’y’’ следует x’x’’, назыв. функцией. x – аргумент, y – зависимая перемен. Df=X – обл. определения. Ef=Y – область значений. f={(x,y)} – мн-во упоряд пар наз-ся график ф-ии. Опр. Сов-ть всевозм-ых упоряд-ых пар (y,f^-1(y)) – наз. обрат. ф-ией. Опр. Опр. Если f: HY и g: YZ, то F:XZ определенная для любого xH равенством F(x)=g(f(x)) наз-ют сложной ф-ией.

Способы задания 1.Аналитич. 2.Графич. 3.Табличный.

Св-ва: 1.Равные f(x)=g(x). 2.Четная f(x)=f(-x). 3. Нечет f(x)=-f(x). 4.Периодич f(x)=f(x+T). 5.Сумма или разн-ть ф-ий. 6. Произведен или частное. Функции бывают огранич(если находится в некотор. конечном промежутке) и монотон.(изменяется при возрастании или убывании в одном направлении)

Элементарные ф-ии дел-ся на классы

1.целая и дробно-рац-ая. 2.y=x^a – степеная. 3.y=a^x – показ-ая. 4.y=log_xa – логарифм. 5. y=sin(x) – тригон. 6.y=arcsin(x) – обрат. Тригоном

2. Дифференцируемость ф-ии. Теорема о непрерывности диф-мой ф-ции

Опр. Производной ф-ции f в точке x₀ наз. число к которому стремится отношение f/x=(f(x₀+x)-f(x₀))/ x при x0,

т.е. f ’(x₀)=lim (f(x₀+x)-f(x₀))/ x при x0.

Геомет-ий смысл производной это угловой коэффициент tga касательной в точке х₀.

Опр1. Фунция, имеющая производную в точке x₀ наз. дифференцируеой

3. Т. Коши об обращ. В нуль ф-ии, непрер. На отрезке.

Услов непрер-ти по Гейне: x_nX nN limx_n=x₀ n->8: Lim f(x_n)=f(x₀). По Коши. e>0 d>0 xU(x₀,d)ПX: f(x)U(f(x₀),e) или e>0 d>0 x|x-x₀|<d : |f(x)-f(x₀)|<e. Опр. Функция f : XR наз-ют непрерывной в точке x₀X, если бесконечно малому приращению аргумента x соотв-ет бесконечно малое приращ функции. Т.(Больцана-Коши)Если f непрер на отрезке [a,b] и и f(a)=A, f(b)=B, то для люб. C A<C<B сущ c[a,b]: f(c)=C. Д-во.Метод половин деления. [a,x0]U[x0,b]. Тогда возможны случаи 1). f(x0)=C 2)f(x0)c [a1,b1]:2 x₀₁ [a2,b2]...[an,bn] – вложен. отрезки. Af(an)Cf(bn) lim an=lim bn=c nбескон. f(x) – непрер.  limf(an)Climf(bn) при n бескон. limf(x)Climf(x) при xc-0 и xc+0  f(c)=C ЧТД. Сл-ие. Если f(x) – непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения разл. знаков, то тогда сущ. точка в котор. ф-ия обращается в нуль.

4.Т.Веерштрасса. Св-ва ф-ии непрер на отр-ке.

Опр. Функция f : XR наз-ют непрерывной на мн-ве X, если она непрерывна в каждой его точке.

5.Мощность мн-ва.

Множество- это совокупность элементов.

Рассмотр X={x1,..} и Y={y1,...} Пара (x1,y2) говорит о том, что устан-но соот-ие: эл-ту x1 соотв-ет эл-т y1 и наоборот. Рассм-им (x2,y2)...(xn,yn). Этот набор пар наз-ся соотв-ием между множеств X и мн-ев Y. Опр. Соотв-ие f наз-ют взаимооднозначным титт. когда: 1)Для каждого xX yY, которое ему соотв-ет. 2)в том же соотв-ие yYxX. Соотв-ие f1 не явл-ся взаимодн-ым. т.к. не вып-ся требование для всех и в этом соотв-ии эл-ту x3 соотв-ет 2 эл-та из Y.

Опр. Два мн-ва эквивалентны когда между эл-ми м. восстановить взаимнооднозначное соответствие.

Мы можем разбить все мн-ва на классы. Одному классу принадлежат все мн-ва, кот. эквивалентны между собой. Этому классу мы присваиваем некоторый символ, кот. наз-ся мощностью множества.

Мощность-количество элементов в конечном мн-ве.

Мн-ва бывают конечными и бесконечными.

Бесконечные мн-ва не находятся в одном классе, следовательно и мощности разные.

Опр. мн-ва, эквив-ые мн-ву N{1,2,3..} наз. счетными. Мн-во явл-ся счетным если его можно занумеровать. Мн-во Z(целые) – тоже счетно.

Т мн-во точек отрезка [0..1] несчетно. (Мощность такого мн-ва наз. континуум)

Док-во: От противн. Пусть мно-во счетно. Тогда мн-во точек этого мн-ва можно занумеровать. Обозначим отр [0...1]=. Этот отрезок разделим на три части и выберем ту часть, но которой нет точки с номером, выбраный отрезок обозначим через 1. Разоб. его на 3 части и выберем ту часть, но которой нет точки с номером, выбраный отрезок обозначим через 2 и тд. Получим посл-ть {n} Она облад св-ми 1)Каждый послед-ий отрезок соед-ся с пред-им 2)длина n=(1/3)^n. А значит lim n=0. Такая посл-ть отрезков наз-ся влож-ых отр-ов. По Т.Веерштрассе сущ-ет такая точка a0 которая принад-т всем отрезкам т.е.a0[0...1] а значит по предполож-ию у нее есть свой номер n0. Тогда согласно построению отрезка n0 – не содержит a0, а значит и все послед-ие отрезки этой точки не содержат. Получ. противоречие.

Пример: несчетного мн-ва y=tgx:(-pi/2, pi/2) на ось у.