6.6. Формула Тейлора

Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а все производные до (n+1)-ой включительно. Тогда в этой окрестности функцию f(x) можно записать в виде f(x)= +r_n(x). Это равенство называется формулой Тейлора. Выражение r_n(x) называют остаточным членом. Примем без доказательства следующее утверждение: r_n(x)= , где 0t1. Число

с = заключено между числами а и х; его называют промежуточной точкой.

Пример. Пусть n=1. Тогда f(x)=f(а)+ (х–а)+ + , f(x)–f(а)– (х–а) = . Значит, f–df . Это неравенство дает оценку приближенной формулы fdf: погрешность приближения имеет порядок (х)².

7. Применение производной к исследованию функций

7.1. Условие постоянства дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем в каждой точке интервала =0. Тогда функция f(x) постоянна на отрезке [a;b].

Доказательство. Пусть х₁[a;b], х₂[a;b]. Тогда функция f(x) удовлетворяет на отрезке [х₁;х₂] условию теоремы Лагранжа. Значит, существует точка c(х₁;х₂) такая, что = . Но тогда c(a;b), то есть =0. Поэтому =0, то есть f(х₁) = f(х₂) для любых х₁[a;b], х₂[a;b], ч.т.д.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем в каждой точке интервала = . Тогда на этом отрезке f(x) =g(x)+С.

Доказательство. Рассмотрим функцию f(x)–g(x). = – =0 в каждой точке интервала (a;b). Тогда по теореме 1 функция f(x)–g(x) постоянна на отрезке [a;b], ч.т.д.

7.2. Исследование дифференцируемой функции

на монотонность

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем в каждой точке интервала >0. Тогда функция f(x) возрастает на отрезке [a;b].

Доказательство. Пусть х₁[a;b], х₂[a;b], х₁<х₂. Тогда функция f(x) удовлетворяет на отрезке [х₁;х₂] условию теоремы Лагранжа. Значит, существует точка c(х₁;х₂) такая, что = . Но тогда c(a;b), то есть >0. Поэтому >0, причем х₂–х₁>0. Значит, f(х₂)>f(х₁) для любых х₁[a;b], х₂[a;b], х₁<х₂, ч.т.д.

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем в каждой точке интервала <0. Тогда функция f(x) убывает на отрезке [a;b].

Доказательство рекомендуем провести самостоятельно.

Примеры. 1) Исследуем на монотонность функцию f(x)=x³–3x. Эта функция дифференцируема на всей числовой прямой, =3x²–3=3(x–1)(x+1). Методом интервалов получаем: >0, если x(–;–1) или x(1;); <0, если x(–1;1). Значит, согласно теоремам 3 и 4, функция возрастает на промежутках (–;–1] и [1;), убывает на промежутке [–1;1].

2) Исследуем на монотонность функцию f(x)=arctgx–x. Эта функция дифференцируема на всей числовой прямой, = –1= . Значит, <0, если x0. Поэтому функция убывает на промежутках (–;0] и [0;), то есть убывает на всей числовой прямой.

7.3. Исследование дифференцируемой функции

на экстремумы

Теорема 5 (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [х₀–;х₀+] и дифференцируема на интервалах (х₀–;х₀) и (х₀;х₀+), причем на каждом интервале сохраняет знак. Тогда, если знак производной на этих интервалах одинаков, точка х₀ не является точкой экстремума функции f(x); если >0 на интервале (х₀–;х₀) и <0 на интервале (х₀;х₀+), то х₀ – точка максимума; если <0 на интервале (х₀–;х₀) и >0 на интервале (х₀;х₀+), то х₀ – точка минимума.

Доказательство. Если >0 на интервалах (х₀–;х₀) и (х₀;х₀+), то по теореме 3 функция f(x) возрастает на отрезке [х₀–;х₀+], поэтому точка х₀ не является точкой экстремума. Если <0 на интервалах (х₀–;х₀) и (х₀;х₀+), то по теореме 4 функция f(x) убывает на отрезке [х₀–;х₀+], поэтому точка х₀ не является точкой экстремума. Если >0 на интервале (х₀–;х₀) и <0 на интервале (х₀;х₀+), то функция f(x) возрастает на отрезке [х₀–;х₀] и убывает на отрезке [х₀;х₀+], поэтому х₀ – точка максимума. Если <0 на интервале (х₀–;х₀) и >0 на интервале (х₀;х₀+), то функция f(x) убывает на отрезке [х₀–;х₀] и возрастает на отрезке [х₀;х₀+], поэтому х₀ – точка минимума. Теорема доказана.

Пример. Исследуем на экстремумы функцию f(x)=x³–9х²+24x. Эта функция дифференцируема на всей числовой прямой, =3x²–18х+24=3(x–2)(x–4). Используем необходимое условие экстремума (п.6.2): точки экстремума надо искать среди тех точек, в которых производная равна нулю или не существует. Поскольку существует при всех x, то «подозрительными» будут только те точки, где =0, то есть точки x=2 и x=4. Составим таблицу:

	x<2	x=2	2<x<4	x=4	x>4
	+	0	–	0	+
f(x)	↗	max	↘	min	↗

Из таблицы видно, что в точке x=2 производная меняет знак с плюса на минус, а в точке x=4 – с минуса на плюс. По теореме 5 x=2 – точка максимума, а x=4 – точка минимума. 

Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [х₀–;х₀+], дифференцируема на интервале (х₀–;х₀+), =0 и вторая производная непрерывна в точке х₀, причем 0. Тогда, если >0, то х₀ – точка минимума функции f(x), а если <0, то х₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть >0. Так как непрерывна в точке х₀, то в некоторой окрестности этой точки >0. А тогда (по теореме 3) в этой окрестности функция возрастает. Поскольку =0, то в этой окрестности при х<х₀ будет <0, а при х<х₀ будет >0. По теореме 5 это означает, что х₀ – точка минимума функции f(x). Аналогично при <0 получим, что х₀ – точка максимума. Теорема доказана.

Пример. Исследуем на экстремумы ту же функцию f(x)=x³–9х²+24x. Эта функция имеет вторую производную на всей числовой прямой, =3x²–18х+24, =6х–18. =0 при x=2 и при x=4. = –6<0, = 6>0. Тогда по теореме 5 x=2 – точка максимума, а x=4 – точка минимума. 