
- •Часть 2
- •Раздел III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •1. Производная
- •1.1. Касательная к графику функции
- •1.2. Мгновенная скорость прямолинейного движения
- •1.3. Определение производной
- •1.4. Уравнения касательной и нормали
- •2. Дифференциал
- •2.1. Дифференцируемость функции в точке
- •2.2. Дифференциал функции в точке
- •2.3. Использование дифференциала
- •2.4. Непрерывность дифференцируемой функции
- •3. Правила дифференцирования
- •3.1. Дифференцирование суммы, произведения, частного
- •3.2. Дифференцирование сложной функции
- •3.3. Инвариантность формы дифференциала
- •4. Формулы дифференцирования
- •4.1. Дифференцирование степенных функций
- •4.2. Дифференцирование показательных функций
- •4.3. Дифференцирование логарифмических функций
- •4.4. Дифференцирование тригонометрических функций
- •4.5. Дифференцирование обратных тригонометрических функций
- •4.6. Дифференцирование гиперболических функций
- •4.7. Дифференцирование функции,
- •5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.1. Производная n-го порядка
- •5.2. Формула Тейлора для многочлена
- •5.3. Свойства старших производных
- •5.4. Дифференциалы высших порядков
- •6. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •6.1. Монотонность и производная
- •6.2. Необходимое условие экстремума
- •6.3. Теорема Ролля
- •6.4. Теорема Лагранжа
- •6.5. Теорема Коши
- •6.6. Формула Тейлора
- •7. Применение производной к исследованию функций
- •7.1. Условие постоянства дифференцируемой функции
- •7.2. Исследование дифференцируемой функции
- •7.3. Исследование дифференцируемой функции
- •7.4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
- •7.5. Исследование функции на выпуклость
- •7.6. Правила Лопиталя
- •7.7. Общая схема исследования функции.
- •7.8. Кривизна плоской кривой
- •7.9. Вектор-функция скалярного аргумента
- •Раздел IV. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Пространство Rn
- •1.2. Линейная зависимость векторов
- •1.3. Базис и ранг системы векторов
- •2. Матрицы и определители
- •2.1. Линейные операции над матрицами
- •2.2. Умножение матриц
- •2.3. Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Определители
- •3. Системы линейных уравнений
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Метод обратной матрицы и правило Крамера
- •3.3. Метод Гаусса
- •3.4. Однородные системы линейных уравнений
- •4. Линейные пространства и линейные отображения
- •4.1.Линейные отображения Rn
- •4.2.Линейные подпространства Rn
- •4.3.Собственные векторы линейного отображения
- •Часть 2
- •127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр.9.
6.2. Необходимое условие экстремума
Определение. Пусть функция f(x) непрерывна на некотором интервале, содержащем точку х0. Эта точка называется точкой максимума, если она имеет такую проколотую окрестность, в которой f(x)<f(x0). Эта точка называется точкой минимума, если она имеет такую проколотую окрестность, в которой f(x)>f(x0). Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.
Лемма 1. Если >0, то существует такая окрестность точки х0, в которой функция f(x) возрастает.
Доказательство. Приращение дифференцируемой функции в точке х0 можно записать в виде: f= x+(x)x, где (x) – бесконечно малая при х0. Так как >0, то найдется такая окрестность точки х0, в которой (х0)< . Тогда в этой окрестности +(x)>0, а значит, x и f=( +(x))x одинаковы по знаку, то есть в этой окрестности функция f(x) возрастает, что и требовалось доказать.
Лемма 2. Если <0, то существует такая окрестность точки х0, в которой функция f(x) убывает.
Доказательство аналогично доказательству леммы 1.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале, содержащем точку х0, и эта точка является точкой экстремума, то =0 или не существует.
Доказательство. Предположим, что существует, но не равно нулю. Тогда, если >0, то по лемме 1 функция f(x) возрастает в некоторой окрестности точки х0, а если <0, то по лемме 2 функция f(x) убывает в некоторой окрестности точки х0. В обоих случаях точка х0 не является ни точкой максимума, ни точкой минимума, то есть не является точкой экстремума, что и требовалось доказать.
6.3. Теорема Ролля
Теорема. Пусть
функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b).
Если f(a)=
f(b),
то существует такая точка c(a;b),
что
=0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает на этом отрезке свое наибольшее значение M и свое наименьшее значение m. Если и то, и другое значение функция принимает на концах отрезка, то M=m, а значит, функция постоянна и ее производная равна нулю на всем интервале (a;b). Если же какое-либо из значений M и m функция принимает в точке c(a;b), то эта точка – точка экстремума, значит, =0, что и требовалось доказать.
6.4. Теорема Лагранжа
Теорема. Пусть
функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
и дифференцируема на интервале (a;b).
Тогда существует такая точка c(a;b),
что
=
.
Доказательство. Рассмотрим функцию F(x)=f(x)– x. Эта функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем
F(a)=
f(a)
–
a
=
=
=
и F(b)
= f(b)
–
b
= =
=
.
Значит, функция F(x)
удовлетворяет условию теоремы Ролля и
поэтому существует такая точка c(a;b),
что
=0.
А тогда
= , что и требовалось доказать.
6.5. Теорема Коши
Теорема. Пусть
функции f(x)
и g(x)
непрерывны на отрезке [a;b]
и дифференцируемы на интервале (a;b)
и
0.
Тогда существует такая точка c(a;b),
что
=
.
Доказательство. Рассмотрим функцию F(x)=f(x)– g(x). Эта функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем
F(a)=f(a)–
g(a)
=
=
=
и F(b)=f(b)–
g(b)
= =
=
.
Значит, функция F(x)
удовлетворяет условию теоремы Ролля,
и поэтому существует такая точка c(a;b),
что
=0.
А тогда
=
,
что и требовалось доказать.