6.2. Необходимое условие экстремума

Определение. Пусть функция f(x) непрерывна на некотором интервале, содержащем точку х₀. Эта точка называется точкой максимума, если она имеет такую проколотую окрестность, в которой f(x)<f(x₀). Эта точка называется точкой минимума, если она имеет такую проколотую окрестность, в которой f(x)>f(x₀). Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Лемма 1. Если >0, то существует такая окрестность точки х₀, в которой функция f(x) возрастает.

Доказательство. Приращение дифференцируемой функции в точке х₀ можно записать в виде: f= x+(x)x, где (x) – бесконечно малая при х0. Так как >0, то найдется такая окрестность точки х₀, в которой (х₀)< . Тогда в этой окрестности +(x)>0, а значит, x и f=( +(x))x одинаковы по знаку, то есть в этой окрестности функция f(x) возрастает, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если <0, то существует такая окрестность точки х₀, в которой функция f(x) убывает.

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале, содержащем точку х₀, и эта точка является точкой экстремума, то =0 или не существует.

Доказательство. Предположим, что существует, но не равно нулю. Тогда, если >0, то по лемме 1 функция f(x) возрастает в некоторой окрестности точки х₀, а если <0, то по лемме 2 функция f(x) убывает в некоторой окрестности точки х₀. В обоих случаях точка х₀ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума, то есть не является точкой экстремума, что и требовалось доказать.

6.3. Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Если f(a)= f(b), то существует такая точка c(a;b), что =0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает на этом отрезке свое наибольшее значение M и свое наименьшее значение m. Если и то, и другое значение функция принимает на концах отрезка, то M=m, а значит, функция постоянна и ее производная равна нулю на всем интервале (a;b). Если же какое-либо из значений M и m функция принимает в точке c(a;b), то эта точка – точка экстремума, значит, =0, что и требовалось доказать.

6.4. Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует такая точка c(a;b), что = .

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x)=f(x)– x. Эта функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем

F(a)= f(a) – a = = = и F(b) = f(b) – b = = = . Значит, функция F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля и поэтому существует такая точка c(a;b), что =0. А тогда

= , что и требовалось доказать.

6.5. Теорема Коши

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b) и 0. Тогда существует такая точка c(a;b), что = .

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x)=f(x)– g(x). Эта функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем

F(a)=f(a)– g(a) = = = и F(b)=f(b)– g(b) = = = . Значит, функция F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля, и поэтому существует такая точка c(a;b), что =0. А тогда = , что и требовалось доказать.