5.2. Формула Тейлора для многочлена

Рассмотрим многочлен степени n: f(x)=a_nxⁿ+a_n–1x^n–1+

+…+a₁x+a₀, его производные с первой по n-ую и их значения при х=0. Имеем: f(0)=a₀; = na_nx^n–1+…+a₁, = a₁; = n(n–1)a_nx^n–2+…+2a₂, = 2a₂; … ; =n!a_n, =n!a_n. Отсюда получается общее выражение для коэффициентов многочлена: a_k= при любом k от 0 до n; через f⁽⁰⁾(0) можно обозначить f(0). Значит,

f(x)= .

Эта формула называется формулой Тейлора для многочлена.

Заметим, что если f(x)=a_n(x–а)ⁿ+a_n–1(x–а)^n–1+...+a₁(x–а)+a₀, то a_k= и f(x) = .

Пример. Разложим многочлен f(x)=x³–3x²+2х–5 по степеням (х+2).

По формуле Тейлора f(x) = . Имеем:

f(–2)=(–2)³–3(–2)²+2(–2)–5=–29; =3(–2)²–6(–2)+2=26; =6(–2)–6=–18; =6. Поэтому a₀= –29; a₁=26; a₂= –9; a₃=1. Значит, f(x) = –29+26(х+2)–9(х+2)²+(х+2)³.

5.3. Свойства старших производных

Приведем без доказательства некоторые свойства производных n-го порядка.

1^о. (u(x)+v(x))⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾(x)+v⁽ⁿ⁾(x).

2^o. (Cu(x))⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾(x).

3^o. (u(x)v(x))⁽ⁿ⁾ = , где = .

Заметим, что первые два утверждения сразу вытекают из соответствующих свойств производной первого порядка. Третье же свойство (его называют формулой Лейбница) может быть доказано методом математической индукции. Покажем его применение на примере.

Пример. Пусть f(x)=х³е^х. Найдем f⁽³⁰⁾(x). По формуле Лейбница (x³е^x)⁽³⁰⁾= . Так как любая производная функции е^х равна е^х, то (x³е^x)⁽³⁰⁾= е^х , а так как любая производная функции х³, начиная с четвертой, равна 0, то (x³е^x)⁽³⁰⁾=е^х = =е^х =(х³+90х²+2610х+24360)е^х. 

5.4. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал второго порядка функции f(x) обозначается d²f и определяется как дифференциал от первого дифференциала: d²f = d(df). Подставив в это равенство выражение первого дифференциала, получим: d²f =d( ). Если х – независимая переменная, то dx не зависит от х и d²f = d( )dx = . Это форма второго дифференциала для случая, когда х – независимая переменная. Аналогично в этом случае выглядит форма n-го дифференциала: dⁿf = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Пусть теперь x=x(t). Тогда d²f = = = = = =

= =

= = + d²x.

Таким образом, форма второго дифференциала неинвариантна: она зависит от того, является ли х независимой переменной.

Пример. Найдем пятый дифференциал функции f(x)=e^2x в точке х₀=0, если dx=0,1. Считая х независимой переменной, получим, что d⁵f = f⁽⁵⁾(x)dx⁵ =2⁵e^2xdx⁵. При данных условиях получим: d⁵f =32e⁰(0,1)⁵ = 0,00032.

6. Основные теоремы дифференциального исчисления

6.1. Монотонность и производная

Замечание. Функция f(x) возрастает на некотором интервале тогда и только тогда, когда в любой точке этого интервала приращения f и x одинаковы по знаку (то есть f^.x>0). Функция f(x) убывает на некотором интервале тогда и только тогда, когда в любой точке этого интервала приращения f и x различны по знаку (то есть f^.x<0).

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема и возрастает (или убывает) на некотором интервале, то на этом интервале 0 (или 0) .

Доказательство. Пусть, для определенности, функция убывает. Тогда в любой точке интервала приращения f и x различны по знаку, а значит, <0. По теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем: 0, то есть 0, что и требовалось доказать.