4.7. Дифференцирование функции,

заданной параметрически

Пусть =x(t) и y=y(t) – функции, непрерывные на отрезке [;] и дифференцируемые на интервале (;), причем E(x)= [a;b]. Если функция x(t) обратима и t=t(x) – обратная функция, то пара уравнений задает зависимость y=y(t(х))=y(х). Говорят, что функция y(х) задана параметрически. Обратная функция t(x) (а значит, и сложная функция y(х)) непрерывна на отрезке [a;b]. Докажем, что функция y(х) дифференцируема на интервале (a;b).

Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции = , то есть функция дифференцируема. По теореме из пункта 4.5 производная равна . Получаем формулу производной для функции, заданной параметрически:

= .

Пример. Пусть , a>0, 0t2. Функция монотонна, а, следовательно, обратима на каждом из отрезков [0;] и [;2], причем E(x)= [–1;1]. Поэтому системы и параметрически задают две функции y₁(х) и y₂(х) на отрезке [–1;1]. Поскольку, кроме того, функции x=x(t) и y=y(t) непрерывны на каждом из отрезков [0;] и [;2] и дифференцируемы на каждом из интервалов (0;) и (;2), то функции y₁(х) и y₂(х) дифференцируемы на интервале (–1;1) и производная каждой из них равна = = –tgt. Объединение графиков этих функций образует кривую, называемую астроидой. Вот как она выглядит (здесь а=2).



5. Производные и дифференциалы высших порядков

5.1. Производная n-го порядка

Если функция f(x) дифференцируема на некотором интервале, то на этом интервале определена функция , которая, в свою очередь, может быть дифференцируемой. Тогда производная этой функции называется второй производной функции f(x) и обозначается :

= .

Аналогично определяется третья производная и вообще производная порядка n, которая обозначается .

Примеры. 1) Пусть f(x)=х⁵. Найдем . Находим последовательно первую, вторую и третью производные данной функции: =5х⁴, =20х³, =60х². Значит, =60.

2) Пусть f(x)=х^, х>0. Найдем : =х^–1, =(–1)х^–2, ..., =(–1)...(–n+1)х^–n. Частный случай этой формулы получается, если N. Тогда =(–1)...(–n+1)х^–n, если n<; = ! (так обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до ; выражение ! называется факториалом числа ; считается, что 0!=1); наконец, если n>, то =0.

3) Пусть точка движется прямолинейно, и координата ее меняется в зависимости от времени по формуле x(t)=10t²+3t–1. Докажем, что движение осуществляется под действием постоянной силы. Согласно второму закону Ньютона, действующая сила постоянна тогда и только тогда, когда постоянно ускорение. Ускорение же равно производной скорости по времени, то есть второй производной координаты по времени. Имеем: , , то есть ускорение постоянно, что и требовалось доказать.

4) Пусть теперь при прямолинейном движении точки координата ее меняется в зависимости от времени по формуле x(t)=Acos(t+). Докажем, что эта функция удовлетворяет уравнению +²х=0. Имеем: = –Asin(t+), = –A²cos(t+). Значит, +²х= –A²cos(t+)+ ²Acos(t+)=0, что и требовалось доказать. Заметим, что уравнение x(t)=Acos(t+) – это уравнение гармонических колебаний с амплитудой А, частотой  и начальной фазой . 