3.2. Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть функция u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция v(z) дифференцируема в точке z₀=u(x₀). Тогда сложная функция f(x)=v(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем = .

Доказательство. Рассмотрим отношение в точке х₀: = =

= . Поскольку функция u(х) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке, значит, =0. Другими словами, если в точке х₀ приращение х стремится к нулю, то и приращение z в точке z₀ стремится к нулю. Поэтому = = , то есть = , что и требовалось доказать.

Пример. Найдем производную функции f(x)= . Здесь f(x)=v(u(x)), где u(x)= , =2х– , v(z)=z³, =3z². Подставляя найденные выражения в формулу производной сложной функции, получаем: = = 3z²(2х– ). Заменив в этом равенстве z на u(x), получим окончательный результат: =3( )²(2х– ).

3.3. Инвариантность формы дифференциала

Формула dy = была получена в предположении, что x – независимая переменная. Пусть теперь y = y(x), где x – функция независимой переменной t: x = x(t). Запишем производную функции y = y(x(t)), пользуясь правилом дифференцирования сложной функции: = . Тогда dy = dt . Но dt = dx. Значит, и в этом случае dy = dx. Таким образом, форма дифференциала функции y = y(x) не зависит от того, является х независимой переменной или функцией какого-либо аргумента. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

4. Формулы дифференцирования

4.1. Дифференцирование степенных функций

Пусть f(x)=x^, 0, 1. Рассмотрим приращение этой функции в точке х₀: f = (х₀+х)^– х₀^ = х₀^ . Тогда = х₀^ . Воспользуемся эквивалентностью: если у=у(х)0 при х0, то бесконечно малые (1+у)^–1 и у эквивалентны. В данном случае у = 0 при х0, поэтому   . Значит, =

= =  . Итак,

=х^–1.

Важные частные случаи: поскольку = х^0,5 и = х^–1, то и .

4.2. Дифференцирование показательных функций

Пусть f(x)=а^х, а>0, а1. Рассмотрим приращение этой функции в точке х₀: f = = . Тогда = . Воспользуемся эквивалентностью: если у=у(х)0 при х0, то бесконечно малые а^у–1 и уlna эквивалентны. В данном случае у = x0 при х0, поэтому x^.lna . Значит, = = lna . Итак,

= а^хlna.

Важный частный случай: = е^х.

Примеры. 1) = 7^хln7+7x⁶. Не путайте показательную функцию со степенной!

2) – производная сложной функции. Здесь f(x)=v(u(x)), где u(x)= , =2х+ + , v(z)=2^z, =2^zln2. Подставляя найденные выражения в формулу производной сложной функции, получаем: = = 2^zln2(2х+ + ). Заменив в этом равенстве z на u(x), получим окончательный результат: = ln2 .

3) Составим уравнение касательной к графику функции y=e^x в точке с абсциссой 0. Используем уравнение касательной: у = (х–х₀)+f(x₀). Здесь x₀=0, f(x₀)=1, =1. Поэтому искомое уравнение имеет вид: у = х+1.

4.3. Дифференцирование логарифмических функций

Пусть сначала f(x)=lnx. Рассмотрим приращение этой функции в точке х₀: f = ln(x₀+x)–lnx₀= ln . Тогда = . Воспользуемся эквивалентностью: если у=у(х)0 при х0, то бесконечно малые ln(1+y) и у эквивалентны. В данном случае у = 0 при х0, поэтому ln  . Значит, = = . Итак,

= .

Пусть теперь f(x)= , а>0, а1. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: = . Поэтому , то есть

.

Пример. Найдем приближенное значение выражения ln(1,1). Воспользуемся формулой f(х₀+x)  f(х₀) + x. Здесь f(х)=lnx, = , х₀=1, f(х₀)=0, =1, x=0,1. Значит, ln(1,1) 0+1^.0,1=0,1.