2.3. Использование дифференциала

для приближенных вычислений

Как было показано в предыдущем пункте, дифференциал df – это приращение ординаты касательной к графику функции f(x) при приращении аргумента, равном dx. Приращение ординаты самого графика при этом равно f. При малых приращениях аргумента эти две величины отличаются мало: f  df. Отсюда получаем приближенную формулу для вычисления значений дифференцируемой функции: f(х₀+x)  f(х₀) + x.

Пример. Найдем приближенное значение выражения 2,008³. Это число является значением функции f(x) = х³ при х = 2,008. Поскольку 2,008 = 2 + 0,008, то 2,008³ = f(2+0,008) = f(х₀+x), где x₀ = 2, x = 0,008, f(x₀) = 2³ = 8. Так как = 3х², то = 3^.2² = 12. Подставляя найденные значения в формулу f(х₀+x)  f(х₀) + x, получим: 2,008³  8 +12^.0,008 = 8,096.

Заметим, что формула сокращенного умножения позволяет нам найти точное значение: 2,008³=(2+0,008)³=2³+ 3^.2^2.0,008+3^.2^.0,008²+0,008³=8+0,096+0,000384+0,000000064. Отсюда видно, что точное значение 8,096384064 отличается от приближенного значения меньше, чем на 0,0004, – вполне приемлемая точность. В дальнейшем мы еще встретимся с задачей определения точности использованной здесь приближенной формулы. 

2.4. Непрерывность дифференцируемой функции

Докажем, что если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Достаточно доказать, что , то есть что разность f(x)–f(х₀) является бесконечно малой при xх₀.

Поскольку функция дифференцируема в данной точке, то f(x)–f(х₀) = (x–х₀)+((x–х₀))(x–х₀), где (x–х₀) – бесконечно малая при x–х₀0, то есть при xх₀. Первое слагаемое в этом выражении – произведение числа и функции x–х₀, бесконечно малой при xх₀. Второе слагаемое – произведение двух бесконечно малых. Поэтому, по свойствам бесконечно малых, разность f(x)–f(х₀) является бесконечно малой при xх₀, что и требовалось доказать.

Замечание. Обратное утверждение неверно: функция, непрерывная в точке, может не иметь производной в этой точке. Рассмотрим, например, функцию f(x) =x. Каждая точка x0 имеет окрестность, в которой эта функция является линейной: если x<0, то в некоторой окрестности f(x)= –x; если x>0, то в некоторой окрестности f(x)=x. Поэтому при любом x0 функция дифференцируема, а значит, непрерывна. Пусть теперь х₀=0. Тогда f(x)–f(х₀) =x– бесконечно малая при x0, поэтому функция непрерывна и в точке х₀=0. С другой стороны, если в этой точке х<0, то f=х= –х, = –1, поэтому = –1. Если же х>0, то f=х= х, = 1, поэтому = 1.  , значит, не существует, и функция f(x) =xне имеет производной в точке х₀=0.

3. Правила дифференцирования

3.1. Дифференцирование суммы, произведения, частного

Теорема 1. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то функция f(x) = u(x)+v(x) дифференцируема в точке х₀, причем = .

Доказательство. Рассмотрим приращение функции f(x) в точке х₀: f(х₀+x)–f(х₀)=u(х₀+x)+v(х₀+x)–(u(х₀)+v(х₀)) =(u(х₀+x)–u(х₀))+(v(х₀+x)–v(х₀)). Итак, f = u+v, поэтому , значит, = , что и требовалось доказать.

Следствие. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то d(u+v) = du+dv.

Теорема 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то функция f(x) = u(x)v(x) дифференцируема в точке х₀, причем = .

Доказательство. Рассмотрим приращение функции f(x) в точке х₀: f(х₀+x)–f(х₀)=u(х₀+x)v(х₀+x)–u(х₀)v(х₀) =(u(х₀+x)v(х₀+x)–u(х₀)v(х₀+x))+(u(х₀)v(х₀+x)–u(х₀)v(х₀))

=(u(х₀+x)–u(х₀))v(х₀+x)+u(х₀)(v(х₀+x)–v(х₀)). Итак, f=v(х₀+x)u+u(х₀)v, +

+ = . Поскольку функция v(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке, значит, = v(x₀), поэтому = , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если функция u(x) дифференцируема в точке х₀, то функция f(x) = Сu(x), где С – константа, дифференцируема в точке х₀, причем = .

Следствие 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то d(uv) = udv+vdu.

Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, v(x₀)0, то функция f(x) = дифференцируема в точке х₀, причем = .

Доказательство. Рассмотрим приращение функции f(x) в точке х₀: f(х₀+x)–f(х₀)= – = = = . f= , . Поскольку функция v(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке, значит, = v(x₀), поэтому = , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если функция u(x) дифференцируема в точке х₀, u(x₀)0, то функция f(x) = дифференцируема в точке х₀, причем = .

Следствие 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, v(x₀)0, то d( ) = .