1.4. Уравнения касательной и нормали

Из пункта 1.1 и из определения производной получаем следующий вывод: если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то график функции имеет в точке с абсциссой х₀ невертикальную касательную, уравнение которой имеет вид:

у = (х–х₀)+ f(x₀).

Прямую, проходящую через точку М₀(х₀;f(x₀)) перпендикулярно касательной к графику у = f(x), называют нормалью к этому графику в этой точке.

Уравнение нормали получим, переписав уравнение касательной в общем виде: х–у+(– х₀+f(x₀))=0. Тогда уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку М₀(х₀;f(x₀)): –(х–х₀)– (у–f(x₀))=0. Отсюда, если 0, получаем:

у = – (х–х₀)+ f(x₀).

Если же = 0, то уравнение нормали: х = х₀.

Примеры. 1) Составим уравнения касательной и нормали к графику функции f(x) = в точке с абсциссой 1. Здесь x₀ = 1, f(x₀) = f(1) = 1. Из предыдущего примера мы знаем, что . Поэтому = –1. Тогда уравнение касательной: у = –(х–1)+1, то есть у = –х+2. Так как 0, то получаем уравнение нормали: у = (х–1)+1, то есть у = –х.

2) Составим уравнение такой касательной к графику функции f(x) = х², которая проходит через точку А(0; –4). Пусть точка касания имеет абсциссу х₀. Тогда f(x₀) = x₀². Из предыдущего примера известно, что . Поэтому = 2х₀. Получаем уравнение касательной: у = 2х₀(х–х₀)+x₀², то есть у = 2х₀х–x₀². Подставим в это уравнение координаты точки А: –4 = 2х₀^.0–x₀², 4 = x₀², х₀ = 2. Таким образом, через точку А проходят две касательные к данному графику: у = 4х–4 и у = –4х–4.

2. Дифференциал

2.1. Дифференцируемость функции в точке

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х₀, называется дифференцируемой в этой точке, если приращение функции в точке можно представить в виде:

f = Ax+(x)x, где А – число, а (x) – бесконечно малая при x0.

Из этого определения следует, что если функция f(x) дифференцируема в точке х₀, то , то есть в этой точке существует производная = А.

Обратно, пусть функция f(x) имеет в точке х₀ производную . Тогда, согласно определению предела, разность – является бесконечно малой при x0. Обозначив – через (x), получим: = +(x). Отсюда f = x+(x)x, где (x) – бесконечно малая при x0. Это, по определению, означает, что функция f(x) дифференцируема в точке х₀.

Итак, функция f(x) дифференцируема в точке х₀ тогда и только тогда, когда функция имеет в этой точке производную.

2.2. Дифференциал функции в точке

Как было показано в предыдущем пункте, приращение дифференцируемой в точке х₀ функции f(x) можно представить в виде:

f = x+(x)x, где (x) – бесконечно малая при x0.

Главную линейную часть этого выражения – произведение x – называют дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначают df: df = x. Если, например, f(x) = х, то получаем: dх = x. А поскольку , то dх = x – дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому формулу дифференциала можно записать так:

df = dx (или dy = ).

Замечание. Рассмотрим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀: у = (х–х₀)+ f(x₀). Другими словами, у – f(x₀)=df. Значит, дифференциал – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента dx. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.