3.2. Метод обратной матрицы и правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными. Тогда матрица А – квадратная. Пусть ¹0, то есть существует А^–1. Тогда систему А = можно решить так: А^–1(А )=А^–1 ; (А^–1А) =А^–1 ; Е =А^–1 ; =А^–1 .

Пример. Решим методом обратной матрицы систему: . А= .

В примере пункта 2.3 мы видели, что А^–1= . Значит, = = . Мы нашли решение системы: х₁ = –41, х₂ = 48, х₃ = –26.·

Если ¹0, то систему можно решить также по правилу Крамера, которое мы примем без доказательства:

х₁ = , х₂ = , ..., х_n = , – где D= , D_k – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решим ту же систему по правилу Крамера. D= = –1, D₁= = 41,

D₂= = –48, D₃= = 26. Тогда по правилу Крамера х₁ = –41, х₂ = 48, х₃ = –26.·

3.3. Метод Гаусса

До сих пор мы рассматривали систему с квадратной невырожденной матрицей. В общем случае описанные методы решения неприменимы. Общим методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Начнем с примеров. Возьмем систему из предыдущего пункта, запишем расширенную матрицу: – и приведем ее к ступенчатому виду: ®

® ® .

Значит, r(A)=r( )=3, поэтому система совместна. Запишем систему, полученную в результате преобразований:

. Начиная с последнего уравнения, последовательно выразим неизвестные: . Значит, =(–41;48;–26) – единственное решение системы.

Заменим теперь в системе последнее уравнение на такое: –2х₁+3х₃=4. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:

® ® ® . Значит, r(A)=r( )=2, поэтому система совместна. Запишем систему, полученную в результате преобразований: . Из последнего уравнения выразим х₂ через х₃ и подставим в первое уравнение: ; . Здесь х₃ может быть любым числом, поэтому х₃ называют свободной неизвестной. Общее решение системы записывают в виде: , х₃ – свободная неизвестная. Если подставить вместо х₃ конкретное число aÎR, получим частное решение. Например, если х₃ = 2, получаем частное решение (1; –1; 2). Итак, в данном случае система имеет бесконечно много решений: =(1,5a–2;–1,75a+2,5;a), aÎR.

Заменим, наконец, в последнем уравнении системы свободный член на 0 и преобразуем расширенную матрицу:

® ® . Значит, r(A)=2, а r( )=3, поэтому система несовместна.

Описанный метод, состоящий в приведении расширенной матрицы к ступенчатому виду и последующем последовательном выражении неизвестных (либо числами, либо через свободные неизвестные), и есть метод Гаусса. Его применение приводит к одному из трех результатов: либо r(A)¹r( ) и система несовместна; либо r(A)=r( )=n и система имеет единственное решение; либо r(A)=r( )=r<n и система имеет бесконечно много решений, причем число свободных неизвестных равно n–r.

Пример. Решим методом Гаусса систему:

. = ® ® ® ®

.

Получаем систему: ;

.

Общее решение: , х₃, х₄ – свободные неизвестные.·

3.4. Однородные системы линейных уравнений

Система А = называется однородной системой. Однородная система всегда совместна: = является решением. Если r(A)=n, то это единственное решение системы. Если r(A)<n, то система имеет бесконечно много решений, каждое из которых – n-мерный вектор. Базис множества решений однородной системы называется фундаментальным набором решений. Для его отыскания сначала находят общее решение системы, а затем строят все такие решения, в каждом из которых одна свободная неизвестная равна единице, а остальные свободные неизвестные – нули. Эти решения и образуют фундаментальный набор.

Пример. Решим систему и найдем ее фундаментальный набор решений: . Столбец свободных членов при преобразовании матрицы можно не писать: нули так и останутся нулями при всех элементарных преобразованиях.

® ®

. .

Общее решение: , х₂, х₃, х₅ – свободные неизвестные. Для нахождения фундаментального набора решений составим таблицу, имеющую пять столбцов (столько, сколько неизвестных) и три строки (столько, сколько свободных неизвестных). В первой строке х₂=1, х₃=х₅=0; во второй строке х₃=1, х₂=х₅=0; в третьей строке х₅=1, х₂=х₃=0.

	х1	х2	х3	х4	х5
	5	1	0	13	0
	0	0	1	2	0
	–1	0	0	1	1

=(5,1,0,13,0), =(0,0,1,2,0) , =(–1,0,0,1,1) – фундаментальный набор решений. Всякое решение системы является линейной комбинацией , и :

= (5х₂–х₅; х₂; х₃; 13х₂+2х₃+х₅; х₅) = х₂ +х₃ +х₅ .·