2.5. Определители

Пусть А – квадратная матрица. Определителем матрицы А будем называть число (или detA), которое определяется следующими формулами.

1. Если А=(а₁₁), то = а₁₁.

2. Если А – матрица порядка n,

то = а₁₁М₁₁–а₁₂М₁₂+...+(–1)ⁿа_1nМ_1n, где M_1k – определитель матрицы, которая получается из матрицы А вычеркиванием первой строки и k-го столбца. Такой определитель называется минором.

Если, например, n=2, то = а₁₁М₁₁–а₁₂М₁₂ = а₁₁а₂₂–

–а₁₂а₂₁. Если n=3, то = а₁₁М₁₁–а₁₂М₁₂+а₁₁М₁₁=(а₁₁а₂₂а₃₃+

+ а₁₂а₂₃а₃₁+а₁₃а₂₁а₃₂)– (а₁₃а₂₂а₃₁+а₁₂а₂₁а₃₃+а₁₁а₂₃а₃₂). Таким образом, определители второго и третьего порядка вычисляются по уже известным нам формулам.

Выражение А_ij=(–1)^i+jM_ij называется алгебраическим дополнением элемента а_ij. Определитель матрицы А можно переписать в виде: = а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+...+а_1nА_1n, или

= . Такая запись называется разложением определителя по первой строке. Можно доказать, что то же число получится, если заменить первую строку любой другой строкой или любым столбцом: для любого m

= – разложение по m-ой строке;

= – разложение по m-ому столбцу.

Примеры. 1) Пусть О – нулевая матрица порядка n.

= = 0.

2) Пусть E – единичная матрица порядка n.

= 1^.М₁₁+ = М₁₁ – определитель единичной матрицы порядка n–1. Значит, определитель единичной матрицы не зависит от ее порядка. Поэтому = =1.·

Перечислим без доказательства свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель поменяет знак.

3. Определитель с нулевой строкой (или столбцом) равен нулю.

4. При умножении строки (или столбца) на число определитель умножается на это число.

5. Определитель, имеющий пропорциональные строки (или столбцы), равен нулю.

6. Определитель не меняется, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число (или к столбцу прибавить другой столбец, умноженный на число).

7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Из свойства 5 получаем следующее следствие: если m¹p, то = 0 (это утверждение иногда называют теоремой о «чужом» алгебраическом дополнении). Действительно, указанная сумма равна определителю матрицы, у которой m-ая и p-ая строки совпадают.

Из свойства 7 получаем следующее следствие: если матрица обратима, то ¹0 и = .

Перечисленные свойства позволяют доказать (мы этого делать не будем), что если ¹0, то матрица А обратима и обратная матрица А^–1=(b_ij) может быть найдена по формуле: b_ij = А_ji. Итак, матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.

3. Системы линейных уравнений

3.1. Основные понятия

Системой m линейных уравнений с n неизвестными будем называть систему следующего вида:

(*) . Здесь а_ij – коэффициенты при неизвестных, b_i – свободные члены. Решением системы называется любой n-мерный вектор (x₁, x₂, …, x_n), компоненты которого удовлетворяют системе. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; не имеющая решений – несовместной. Матрицей системы называют матрицу А=(а_ij), составленную из коэффициентов при неизвестных. Если обозначить через столбец свободных членов, то систему можно переписать в матричной форме: А = (здесь – n-мерный вектор-столбец с компонентами (x₁, x₂, …, x_n), – m-мерный вектор-столбец с компонентами (b₁, b₂, …, b_m)). Матрица , полученная из матрицы А приписыванием справа столбца , называется расширенной матрицей системы. Примем без доказательства следующее утверждение.

Теорема Кронекера-Капелли. Система (*) совместна тогда и только тогда, когда r(A)=r( ).