2.3. Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица. Если существует такая матрица В, что АВ=Е, то эта матрица называется обратной для матрицы А и обозначается А^–1. Сама матрица А в этом случае называется обратимой, или невырожденной. Можно доказать, что матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы.

Примеры. 1) Пусть А= и А^–1= . Тогда АА^–1= . Так как АА^–1= , получаем

систему уравнений: . Решая ее, найдем обратную матрицу: А^–1= .

2) Пусть А= . Действуя таким же образом, получим систему: . Поскольку из нее следует, что одновременно 2x+u = 0 и 2x+u = –0,25, то система не имеет решения. Поэтому матрица А необратима.

Общим методом отыскания обратной матрицы является метод элементарных преобразований. Элементарным преобразованием строк матрицы называется любая из следующих операций:

1) перестановка двух строк;

2) умножение строки на число, не равное нулю;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на число.

Чтобы найти матрицу, обратную матрице А порядка n, записывают рядом А и Е, а затем к полученной n2n-матрице применяют элементарные преобразования строк так, чтобы матрица А превратилась в единичную матрицу. При этом на месте матрицы Е появится матрица А^–1.

Пример. Найдем методом элементарных преобразований матрицу, обратную матрице

А= . Запишем: . Прибавим ко второй строке первую, умноженную на –3, а к третьей строке – первую, умноженную на 2:

. Умножим третью строку на 4:

. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 5: . Теперь прибавим к первой строке третью, умноженную на –2, а ко второй строке – третью, умноженную на 7:

. Разделим вторую строку на –4:

. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на –2: . Слева получилась матрица Е.

Значит, А^–1= . Проверьте самостоятельно, что действительно АА^–1=Е. ·

2.4. Ранг матрицы

Каждая m´n-матрица порождает систему n-мерных векторов-строк. Ранг этой системы векторов называется рангом матрицы. Можно доказать, что ранг матрицы равен также рангу системы m-мерных векторов-столбцов. Из определения следует, что ранг невырожденной матрицы равен числу ее строк. Ранг матрицы А обозначим r(A).

Пусть строки матрицы образуют лестничную систему. Такую матрицу будем называть ступенчатой. Поскольку лестничная система линейно независима, ранг ступенчатой матрицы равен числу ее строк.

Можно доказать, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк или столбцов, а также при вычеркивании нулевой строки или нулевого столбца. Значит, если с помощью указанных операций привести матрицу к ступенчатому виду, то ранг исходной матрицы равен числу строк полученной ступенчатой матрицы.

Пример. Рассмотрим матрицу

А= , строками которой являются векторы из пункта 1.2, и приведем ее к ступенчатому виду.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на –2, к третьей – первую, умноженную на 3, к четвертой – первую, умноженную на –5:

. Теперь прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 2, а к четвертой – вторую, умноженную на –2:

. Теперь вычеркиваем нулевые строки и получаем ступенчатую матрицу из двух строк:

. Значит, r(A)=2.·

Заметим, что тем же методом можно найти ранг любой системы векторов: достаточно записать их в виде строк матрицы и привести ее к ступенчатому виду.