2. Матрицы и определители

2.1. Линейные операции над матрицами

Прямоугольную таблицу, заполненную числами, будем называть матрицей, а сами числа – элементами матрицы. Матрицу, содержащую m строк и n столбцов, назовем mn-матрицей. Матрицы будем обозначать заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными буквами с двумя индексами: a_ij – это элемент матрицы А, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца. Матрицу обычно записывают так:

А= , или А= , 1im, 1jn.

Если все элементы матрицы – нули, то матрица называется нулевой матрицей и обозначается О. Если А= , то –А= – противоположная матрица.

Каждая строка mn-матрицы – это n-мерный вектор, а каждый столбец – m-мерный вектор. Будем обозначать i-ую строку через , а j-ый столбец – через : =(a_i1, a_i2, ..., a_in), =(a_1j, a_2j, ..., a_mj).

Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Элементы a₁₁, a₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ квадратной матрицы, а элементы a_1n, a_{2 n–1},

…, a_n1 – побочную диагональ. Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы – нули, называется единичной матрицей и обозначается Е.

Матрица, строки которой – столбцы матрицы А, обозначается А^Т и называется транспонированной матрицей.

Если, например, А= , то А^Т= .

Линейные операции над матрицами (сложение матриц и умножение на число) выполняются поэлементно: если А= и В= – две mn-матрицы, то их сумма – mn-матрица А+В= ; если А= и kR, то kA= . Линейные операции над матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над векторами.

1.1. А+В =В+А 1.2. А+(В+С) = (А+В)+С 1.3. А+О = А 1.4. А+(–А) =О

2.1. k(mА) = (km)А; 2.2. (k+m)А= kА+mА; 2.3. k(А+В) = kА+kВ; 2.4. 1.А=А.

2.2. Умножение матриц

Произведение двух матриц можно найти в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. А именно, если А – mn-матрица, а В –nk-матрица, то их произведение АВ= – mk-матрица, элементы которой находят по формуле: c_ij = (скалярное произведение i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В). В частности, квадратные матрицы можно перемножать тогда и только тогда, когда они одного порядка.

Примеры. 1) Пусть А= – 23-матрица, В= – 32-матрица. Так как число строк матрицы

В равно числу столбцов матрицы А, то можно найти АВ. Выпишем строки А и столбцы В:

= (0;–1;2) = (3;4;0)

= (–1;5;0) = (4;0;–2)

Пусть АВ= . Тогда имеем:

c₁₁= =0^.(–1)+(–1)^.5+2^.0; c₁₂ = = 0^.4+(–1)^.0+2^.(–2);

c₂₁ = = 3^.(–1)+4^.5+0^.0; c₂₁ = = 3^.4+4^.0+0^.(–2).

Отсюда получаем: АВ= . В данном случае можно найти и произведение ВА. Для этого выпишем строки В и столбцы А:

= (–1;4) = (5;0) = (0;–2)

= (0;3) = (–1;4) = (2;0)

Тогда ВА= , то есть ВА= .

2) Пусть А= , В= . Тогда АВ= ,

ВА= . Таким образом, АВВА.

3) Пусть А= , В= . Тогда АВ= =О, хотя АО и ВО. 

Перечислим свойства умножения матриц. Для простоты будем считать, что речь идет о квадратных матрицах одного порядка.

1. А(ВС)=(АВ)С.

2. АЕ=ЕА=А.

3. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС.

Последнее свойство записано двумя равенствами, поскольку, как мы видели, в общем случае АВВА. Если все же АВ=ВА, то эти две матрицы называются перестановочными. Единичная матрица перестановочна с любой матрицей того же порядка.

Наконец, как мы видели, существуют такие ненулевые матрицы, произведение которых равно нулевой матрице. Такие матрицы называют делителями нуля. Например, матрицы и – делители нуля.