Раздел IV. Элементы линейной алгебры

1. n-мерные векторы

1.1. Пространство Rn

Будем называть произвольный упорядоченный набор из n действительных чисел n-мерным вектором, а сами эти действительные числа – его компонентами. Вектор с компонентами а₁, а₂, ..., а_n будем обозначать так:

= (а₁, а₂, ..., а_n).

Таким образом, векторы на плоскости оказываются двумерными векторами, а векторы в пространстве – трехмерными векторами. При этом компонентами вектора являются его координаты в прямоугольной декартовой системе координат.

Определим линейные операции над n-мерными векторами – сложение векторов и умножение вектора на число. Суммой векторов =(а₁, а₂, ..., а_n) и =(b₁, b₂, ..., b_n) будем называть вектор + =(а₁+b₁, а₂+b₂, ..., а_n+b_n), а произведением вектора =(а₁, а₂, ..., а_n) на действительное число k будем называть вектор k =(kа₁, kа₂, ..., kа_n). Нулевым вектором называют вектор = (0, 0, ..., 0). Противоположным вектором для вектора =(а₁, а₂, ..., а_n) называют вектор

– =(–а₁, –а₂, ..., –а_n). Линейные операции над n-мерными векторами обладают теми же свойствами, что и операции над двумерными и трехмерными векторами. Перечислим эти свойства.

1.1. + = + 1.2. +( + ) = ( + )+ 1.3. + = 1.4. +(– ) =

2.1. k(m ) = (km) ; 2.2. (k+m) = k +m ; 2.3. k( + ) = k +k ; 2.4. 1. = .

Множество всех n-мерных векторов с операциями сложения и умножения на число называют арифметическим n-мерным пространством и обозначают Rⁿ. Кроме линейных операций, в пространстве Rⁿ можно определить скалярное умножение векторов. Скалярным произведением

векторов =(а₁, а₂, ..., а_n) и =(b₁, b₂, ..., b_n) будем называть число = а₁b₁+а₂b₂+...+а_nb_n. Сформулируем свойства скалярного произведения.

1. ²0, причем ²=0 тогда и только тогда, когда = .

2. = .

3. (k ) = k( ).

4. ( + ) = + .

Доказательство. 1. ²= а₁²+а₂²+...+а_n². Это число неотрицательно и равно нулю только в том случае, когда а₁=а₂=...=а_n=0.

2. = а₁b₁+а₂b₂+...+а_nb_n= b₁а₁+ b₂а₂+...+b_nа_n= .

3. (k )=а₁kb₁+а₂kb₂+...+а_nkb_n=k(а₁b₁+а₂b₂+...+а_nb_n)= k( ).

4. ( + ) = а₁(b₁+с₁)+а₂(b₂+с₂)+...+а_n(b_n+с_n)= =а₁b₁+а₂b₂+...+а_nb_n+ а₁с₁+а₂с₂+...+а_nс_n= + .

Все свойства доказаны.

Поскольку скалярный квадрат ² – число неотрицательное, то существует . Это число называют длиной вектора и обозначают .

Векторы и называются коллинеарными, если =t . Докажем еще одно свойство скалярного произведения: , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Доказательство. Если = , то векторы и коллинеарны и . Пусть  и t – действительное число. Тогда ( )²= ²–2 + ² – квадратный трехчлен относительно t. При любом t имеем ²–2 + ²0, поэтому D0, то есть 0, , откуда . Наконец, D=0существует такое t, что ( )²=0 =   и коллинеарны. Утверждение полностью доказано. Его называют неравенством Коши-Буняковского.

Неравенство Коши-Буняковского означает, что . Отсюда, если  и  , получаем: . Тогда существует единственное [0;] такое, что cos = . Это число называется углом между ненулевыми векторами и .

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если угол между ними равен . Если несколько векторов попарно ортогональны, то говорят, что они образуют ортогональную систему векторов.