Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская открытая академия транспорта МИИТ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_konspekt_lektsy_ch_2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

7.6. Правила Лопиталя

Теорема 10. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности точки х₀, причем функция в этой окрестности не обращается в нуль и =

= =0. Тогда, если существует , то существует и , причем эти пределы равны.

Доказательство. Поскольку = =0, то точка х₀ для каждой из данных функций может быть либо точкой непрерывности, либо точкой устранимого разрыва. В последнем случае, переопределив функцию в точке х₀, получим непрерывную функцию. Тогда к функциям f(x) и g(x) можно применить теорему Коши: для любого х из данной окрестности существует точка с, лежащая между х и х₀, такая, что . Поскольку f(x₀)=g(x₀)=0, то получаем, что . Если хх₀, то и сх₀, поэтому = = , ч.т.д.

Теорема 11. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на луче (b;), причем функция на этом луче не обращается в нуль и = =0. Тогда, если существует , то существует и , причем эти пределы равны.

Доказательство. Пусть t = , t(0; ), f(x)= , g(x)= , = , = . Применим к функциям и теорему 10: = = . Первое из этих выражений равно , последнее равно . Теорема доказана.

Замечание. Аналогично можно сформулировать теорему 11 для х– и для х.

Две следующие теоремы рекомендуем доказать самостоятельно, перейдя от функций f(x) и g(x) к функциям u(x)= и v(x)= .

Теорема 12. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности точки х₀, причем функция в этой окрестности не обращается в нуль и =

= =. Тогда, если существует , то существует и , причем эти пределы равны.

Теорема 13. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на луче (b;), причем функция на этом луче не обращается в нуль и = =. Тогда, если существует , то существует и , причем эти пределы равны.

Теоремы 10-13 называют правилами Лопиталя и используют для раскрытия неопределенностей вида или .

Примеры. 1) = . По теореме 10 получаем: = = = . Применим теорему 10 еще раз: = =

= = .

2) = . Трижды применив теорему 13, получаем: = =

= = = .

3) = . Дважды применив теорему 13, получаем: = = =0.

4) = . Заметим, что при х0 бесконечно малые arcsin³х и х³ эквивалентны. Значит, = .Применим теорему 10: = = = . Воспользуемся тем, что , и еще дважды применим теорему 10: =

= =

= = =

= = .

5) = . Сразу применить правила Лопиталя нельзя: сначала нужно представить функцию в виде дроби: = = . Теперь можно применить теорему 11: = = =0.

6) =[1^]. С помощью правил Лопиталя можно найти предел логарифма данной функции: = = = =

= = = = . Значит, = .

7.7. Общая схема исследования функции.

Построение графика

Исследование функции f(x) будем проводить в следующем порядке.

1. Находим D(f) – область определения функции.

2. Проверяем, обладает ли функция некоторыми специальными свойствами – четностью и периодичностью.

2.1. Проверяем, является ли функция четной или нечетной:

если f(–x)= f(x) для всех хD(f), то функция четная; если

f(–x)= –f(x) для всех хD(f), то функция нечетная.

2.2. Проверяем, является ли функция периодической: если существует такое число T>0, что f(x+T)= f(x–T)= f(x) для всех хD(f), то функция периодическая; наименьшее из чисел Т называется периодом функции.

3. Находим точки разрыва (с указанием их типа) и вертикальные асимптоты. При этом учитываем, что любая элементарная функция непрерывна на всей области определения. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, не входящие в область определения. Если при этом хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке имеется вертикальная асимптота.

4. Исследуем поведение функции на бесконечности: находим горизонтальные и наклонные асимптоты.

4.1. Если =b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции.

4.2. Если =k0 и =b, то прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции.

5. Исследуем функцию с помощью первой производной: определяем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

6. Исследуем функцию с помощью второй производной: определяем промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба.

7. Строим график у= f(x). При этом вычисляем координаты некоторых точек графика, в частности, точек пересечения с осями координат.

Примеры. 1) y = .

1. D(y) = (–;2)(2;).

2. Функция не является периодической, поскольку, например, значение 0 она принимает только один раз (тогда как периодическая функция каждое свое значение принимает бесконечно много раз).

Функция не является четной или нечетной, поскольку для х = –2 значение у(–х) не существует.

3. Единственная точка разрыва – точка х = 2. Поскольку =, то это точка разрыва второго рода. Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой.

4. =, поэтому горизонтальной асимптоты нет. =1, а = =0.

Значит, k=1, b=0, то есть прямая у=х – наклонная асимптота.

5. = = .

D( )=D(у), = 0  . Составляем таблицу:

x	x<1	x=1	1<x<2	x=2	2<x<3	x=3	x>3
	+	0	–	нет	–	0	+
у	↗		↘	нет	↘		↗

Отсюда видно, что x=1 – точка максимума (у(1)=0), а x=3 – точка минимума (у(3)=4).

6. = =

= =

= = .

D( )=D(у),  0. Составляем таблицу:

x	x<2	x=2	x>2
	–	нет	+
у	выпукла вверх	нет	выпукла вниз

Таким образом, точек перегиба нет.

7. Значения функции в точках экстремума уже найдены. Найдем точки пересечения с осями: если х=0, то у= –0,5; если у=0, то х=1. Изображаем асимптоты и строим график:

2) y = .

1. D(y) = (–;).

2. Функция является периодической с периодом 2. Значит, достаточно исследовать ее на промежутке длиной 2, например, на [–;].

у(–х) = = = – у(х), поэтому функция является нечетной. Значит, достаточно исследовать ее при x0.

В дальнейшем считаем, что 0х.

3. Поскольку D(y) = (–;), функция не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.

4. Мы рассматриваем функцию на конечном отрезке [0;], поэтому не имеет смысла говорить об асимптотах на бесконечности.

5. = .

D( )=D(у), =0  . Отсюда 2х=х+2n или 2х= –х+2n, то есть х=2n или х= n. На интервале (0;) получаем один корень: х= . Составляем таблицу:

0<x< 

x= 

<x<

–

↗

↘

Итак, x=  – точка максимума (у( )= ).

6. = = .

D( )=D(у), =0  =0 

=0  =0. На интервале (0;) имеем один корень: х= . Составляем таблицу:

0<x<

<x<

–

выпукла вниз

выпукла вверх

Таким образом, x= – точка перегиба,

у( )= .

7. Значения функции в точках экстремума и точках перегиба уже найдены. Найдем точки пересечения с осями: если х=0, то у=0; если у=0, то х=0. Построим график на отрезке [0;]:

Теперь воспользуемся нечетностью функции: ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому на отрезке [–;] получаем график:

Теперь можно воспользоваться периодичностью функции:

3) y = .

1. D(y) = (–;).

2. Функция не является периодической, поскольку, например, значение 1 она принимает только два раза – при х=6 и при х=4 (тогда как периодическая функция каждое свое значение принимает бесконечно много раз).

у(–х)= , то есть у(–х)у(х) и у(–х)–у(х), то есть функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Поскольку D(y) = (–;), функция не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.

4. =, поэтому горизонтальной асимптоты нет. =0, но угловой коэффициент наклонной асимптоты не может быть нулем, поэтому наклонной асимптоты тоже нет.

5. = . D( )=(–;4)

(4;6)(6;), =0х=5. Составляем таблицу:

x	x<4	x=4	4<x<5	x=5	5<x<6	x=6	x>6
	–	нет	–	0	+	нет	+
у	↘	1	↘	2	↗	1	↗

Итак, x=5 – точка минимума (у(5)=0).

6. = =

= =

= = .

D( )=D( ), 0. Составляем таблицу:

x<4

x=4

4<x<6

x=6

x>6

–

нет

–

выпукла

вверх

выпукла

вниз

выпукла

вверх

Таким образом, x=4 и x=6 – точки перегиба, у(4)=у(6)=1. Заметим, что в этих точках первая производная стремится к бесконечности, поэтому график в этих точках имеет вертикальные касательные.

7. Значения функции в точках экстремума и точках перегиба уже найдены. Найдем точки пересечения с осями: если х=0, то у=1+ ; если у=0, то х=5. Построим график:

4) y = .

1. D(y) = (–;).

у(–х)= , то есть у(–х)у(х) и у(–х)–у(х), то есть функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Поскольку D(y) = (–;), функция не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.

4. =[^.0]= = = ; по правилу Лопиталя получаем: = =0. Значит, прямая у=0 – горизонтальная асимптота при х–.

=[^.]=, =, поэтому при х+ нет ни горизонтальной, ни наклонной асимптоты.

5. = = .

D( )=(–;), =0х=0. Составляем таблицу:

x	x<0	x=0	x>0
	–	нет	+
у	↘	0	↗

Итак, x=0 – точка минимума (у(0)=0).

6. = = = .

D( )=D( ), =0 х = –1. Составляем таблицу:

x<–1

x= –1

x>–1

–

выпукла

вверх

–2е^–3

выпукла

вниз

Таким образом, x= –1 – точки перегиба, у(–1)= –2е^–3.

7. Значения функции в точках экстремума и точках перегиба уже найдены. Найдем точки пересечения с осями: если х=0, то у=–е^–2; если у=0, то х=1. Построим график: