МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

___________________________________________

Кафедра «Прикладная математика-1»

Е.Б.Арутюнян

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Рекомендовано редакционно-издательским

советом университета в качестве

учебного пособия

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

для студентов специальности

«УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА

В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»

Москва – 2009

УДК 509

А 79

Арутюнян Е.Б. Математика, часть 2. Учебное пособие. - - М.: МИИТ, 2009. – 96 с.

Учебное пособие по курсу «Математика» для студентов специальности «Управление и информатика в технических системах». Содержит два раздела курса: «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» и «Элементы линейной алгебры».

Рецензенты: зав.кафедрой «Вычислительная математика» профессор В.Н.Деснянский; зам. зав.кафедрой прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина профессор С.Ю.Жолков.

© Московский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2009

Раздел III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производная

1.1. Касательная к графику функции

Рассмотрим график непрерывной функции у=f(x), определенной в некоторой окрестности точки х₀. Пусть у₀=f(x₀), М₀(х₀;у₀) – точка графика. Будем проводить всевозможные секущие М₀М, где М(х;у) – произвольная точка графика, х принадлежит указанной окрестности точки х₀. Угловой коэффициент секущей М₀М равен отношению . Если точка М неограниченно приближается к точке М₀ (то есть хx₀), то секущая приближается к касательной, проведенной к графику в точке М₀ (если, конечно, касательная существует). Поэтому угловой коэффициент k касательной равен пределу указанного отношения (если предел существует). Напомним, что прямая, имеющая угловой коэффициент, не параллельна оси ординат.

Разность х–x₀ будем обозначать х и называть приращением аргумента, а разность у–у₀ = f(x)– f(x₀) будем обозначать у или f и называть приращением функции. Тогда для углового коэффициента невертикальной касательной получаем формулу:

.

Таким образом, уравнение касательной в точке графика с абсциссой x₀ имеет вид: у = k(х–х₀)+у₀.

1.2. Мгновенная скорость прямолинейного движения

Пусть точка движется по прямой и ее координата на этой прямой меняется в зависимости от времени по закону х=х(t). Тогда средняя скорость точки за промежуток времени t, начиная с момента t₀, будет равна отношению . Поэтому предел этого отношения при t, стремящемся к нулю (если этот предел существует), естественно принять за мгновенную скорость точки в момент t₀. Получаем формулу для мгновенной скорости:

.

1.3. Определение производной

Рассмотрим функцию у=f(x), определенную в некоторой окрестности точки х₀. Если существует предел отношения при хx₀, то этот предел называется производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается . Иначе говоря,

.

В частности, из пункта 1.2 получаем, что мгновенная скорость прямолинейного движения .

Примеры. 1) Найдем производную линейной функции у=kx+b в точке х₀.

1^о. Возьмем х₀D(y) (в данном случае х₀ – любое число).

2^о. Выберем х так, чтобы окрестность (х₀–х; х₀+х) содержалась в D(y) (в данном случае х – любое число).

3^о. Запишем приращение функции: у = у(х₀+х)– y(х₀) = (k(х₀+х)+b)–(kх₀+b) = kх.

4^о. Запишем отношение приращения функции к приращению аргумента: .

5^о. Найдем предел полученного отношения при х0: .

Итак, .

В частности, производная константы равна нулю: = = 0.

2) Найдем производную функции у=x² в точке х₀.

1^о. Возьмем х₀D(y) (в данном случае х₀ – любое число).

2^о. Выберем х так, чтобы окрестность (х₀–х; х₀+х) содержалась в D(y) (в данном случае х – любое число).

3^о. Запишем приращение функции: у = у(х₀+х)– y(х₀) = (х₀+х)²–х₀² = 2х₀х+х².

4^о. Запишем отношение приращения функции к приращению аргумента: .

5^о. Найдем предел полученного отношения при х0: .

Итак, .

3) Найдем производную функции у=x³ в точке х₀.

1^о. Возьмем х₀D(y) (в данном случае х₀ – любое число).

2^о. Выберем х так, чтобы окрестность (х₀–х; х₀+х) содержалась в D(y) (в данном случае х – любое число).

3^о. Запишем приращение функции: у = у(х₀+х)– y(х₀) = (х₀+х)³–х₀³ = 3х₀²х+3х₀х²+х³.

4^о. Запишем отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

5^о. Найдем предел полученного отношения при х0: .

Итак, .

4) Найдем производную функции у = в точке х₀.

1^о. Возьмем х₀D(y) (в данном случае х₀0).

2^о. Выберем х так, чтобы окрестность (х₀–х; х₀+х) содержалась в D(y) (в данном случаех<х₀).

3^о. Запишем приращение функции: у = у(х₀+х)– y(х₀) = = .

4^о. Запишем отношение приращения функции к приращению аргумента: .

5^о. Найдем предел полученного отношения при х0: .

Итак, .