Введение

Последние десятилетия прогресс в развитии целых отраслей науки и промышленности связан с применением дискретно-кодированных последовательностей (ДКП). В системах автоматики и телемеханики применение ДКП позволяет строить высокоэффективные кодеры и декодеры, контролирующие, обнаруживающие и исправляющие ошибки, автоматически передавать телеметрическую информацию с территориально-распределенных датчиков-измерителей с помощью самосинхро­низирующихся кодовых последовательностей, обеспечив сколь угодно высокую достоверность и криптостойкость передачи информации и многое другое. Особенно возрос интерес к ДКП с бурным развитием цифровой вычислительной техники и цифровых процессоров формирования и обработки сигналов.

Главным достоинством последовательностей Уитмена является то, что при определенных значениях они обладают хорошими автокорреляционными свойствами. Другой важной характеристикой последовательностей, обуславливающей область их применения, является линейная сложность последовательности.

Хорошо изучены автокорреляционные свойства последовательностей Уитмена, но линейная сложность при не исследована, что и определило тему исследования. Прежде чем приступить к изложению результатов подразделов сделаем несколько замечаний о рекуррентных последовательностях. Последовательности над конечными полями, каждый член которых, будучи элементом основного поля, некоторым простым образом зависит от предшествующих ему элементов, представляют большую важность в виду их многочисленных приложений. Практический интерес представляет случай, когда члены последовательности линейным образом зависят от фиксированного числа предыдущих членов. Такие последовательности называются линейными рекуррентными последовательностями. Они применяются в теории кодирования, а также различных областях электроники. Для большинства приложений в качестве основного поля выбирается , однако, теория линейных рекуррентных последовательностей может быть развита для произвольного конечного поля.

Целью данной работы является вычисление линейной сложности последовательностей Уитмена четвертого порядка с периодом pq, где p и q – простые нечетные числа.

1. Обобщеные циклотомические оследовательности уитмена

В этом разделе введем основные определения, напомним правило формированияобобщенных циклотомических последовательностей Уитмена с периодом , изложим основы метода вычисления линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей с периодом .

1. Основные опрЕделения

При построении ДКП достаточно часто применяют блочный метод, то есть для определения последовательностей используются различные разбиения множества целых чисел, при этом каждому элементу разбиения в правиле кодирования последовательности ставится в соответствие одно число.

Пусть – натуральное число. Обозначим через кольцо классов вычетов по модулю , а через - мультипликативную группу его обратимых элементов [1]. Рассмотрим разбиение множества , то есть

, . (1.1)

Если - мультипликативная подгруппа и существуют элементы такие, что , то называются циклотомическими классами, если – простое число, и обобщенными циклотомическими классами, если – составное [2]. Последовательности, правила кодирования которых основаны на , называются, соответственно, циклотомическими или обобщенными циклотомическими последовательностями.

В настоящий момент известно несколько способов построения обобщенных циклотомических последовательностей с периодом , где - нечетные простые числа. В этой работе будут рассматриваться только обобщенные циклотомические последовательности Уитмена [3].

Напомним, чтообобщенные циклотомические классы Уитмена порядка по модулю определяются следующим образом: , , где – общий примитивный корень по модулям и , а элемент

. (1.2)

При этом мультипликативный порядок равен наименьшему общему кратному и , а [3].

Отметим, что вариант, когдамножества определяются классами квадратичных вычетов (последовательности простых чисел близнецов, Якоби [4]) исследовался ещё до появления работы [3], и, в настоящий момент, он изучен достаточно подробно[5].

Положим дополнительно и , тогда, как это показано в [3], справедливо разбиение

. (1.3)

Определение. Последовательность называется последовательностью Уитмена порядка d, если

(1.4)

Здесь рассмотрим только тот вариант, что был предложен в [3]. При этом отметим, что позднее термин обобщенные циклотомические последовательности Уитмена применялся для любых характеристических последовательностей объединения классов .

Главное достоинство последовательностей Уитмена заключается в том, что при определенных значениях они обладают хорошими автокорреляционными свойствами. Другой важной характеристикой последовательностей, обуславливающей область их применения, является линейная сложность последовательности. Если автокорреляционные свойства последовательностей Уитмена хорошо изучены, то их линейная сложность при не изучена, что и определило тему исследования.

Напомним, кратко основные понятия, относящиеся к этой теме.

Линейная сложность последовательности над полем определяется как наименьшее натуральное число , для которого существуют константы из такие, что выполняется рекуррентное соотношение для всех .

Последовательности, обладающие высокой линейной сложностью важны для криптографических приложений [2].

Многочлен – называют минимальным или характеристическим многочленом последовательности [6].

Хорошо известно, смотри, например [6], что минимальный многочлен последовательности и её линейную сложность можно вычислить по следующим формулам:

, (1.5)

где – многочлен последовательности, , при этом:

. (1.6)

Далее, если через примитивный корень степени из единицы в поле разложения многочлена над и не делится на 2, то

. (1.7)

Таким образом, согласно (1.7), задача вычисления линейной сложности последовательности сводится к расчету значений .

В [7] был предложен другой подход к построению обобщенных циклотомических классов и общий метод вычисления линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей, основанных на классах степенных вычетов. В следующих подразделах изложим его основные положения.

1.2 ЦИКЛОТОМИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА

В этом подразделе кратко изложим основные свойства циклотомических чисел, необходимые для дальнейших исследований.

Пусть - конечное поле порядка q и d - делитель , , положим . Обозначим через образующую мультипликативной группы конечного поля.

Пусть - целые числа.

Определение 1.2.1. Циклотомическим числом порядка d называется число решений уравнения

, ( 1.2.1)

где , в поле .

Другими словами, это порядок множества пар целых чисел u и v таких, что и , так как .

Ясно, что если и , то согласно определению 1.2.1, то есть при исследовании циклотомических чисел порядка d достаточно изучить их свойства для . Далее, когда речь идет о циклотомических числах порядка индекс будем опускать, за исключением тех случаев, когда необходимо подчеркнуть о каком именно порядке чисел идет речь.

Если А подмножество , то под будем понимать множество .

Пусть , - разбиение элементов мультипликативной группы конечного поля.

По определению 1.2.1 для циклотомических чисел имеет место равенство:

. (1.2.2)

Формула (1.2.2) определяет достаточно простой способ вычисления циклотомических чисел, при котором не требуется решать уравнение (1.2.1).

Пример 1.

1). Пусть и . В качестве возьмем 2, первообразный корень по модулю 13 . Тогда ; .

(В первом варианте элементы упорядочены по степеням g)

Вычислим циклотомические числа третьего порядка для по формуле (1.2.2).

Найдем , тогда

,

,

.

Подобным же образом легко убедиться в том, что и так далее.

2). Пусть и . Здесь ; . Тогда , следовательно:

, ,

, .

Пример 2.

Пусть и конечное поле из 9 элементов характеристики 3 определяется многочленом . В качестве образующего элемента мультипликативной группы поля возьмем . Если , то и . Тогда и , следовательно,

и ;

и .

Исследуем свойства циклотомических чисел, вытекающие из определения 1.2.1. Как показано в подразделе , поэтому уравнение равносильно следующему: или

. (1.2.3)

По условию, , следовательно, если - четное число, то , а если же - нечетное число, то .

Таким образом, из (1.2.3) получаем, что:

(1.2.4)

Продолжим изучение свойств циклотомических чисел, по формуле (1.2.2) . Порядок , при этом возможны два варианта: и . Так как, , то в первом случае порядок пересечения будет на единицу меньше. Уточним, когда .

Пусть - четное, тогда и для всех , следовательно, , таким образом, для четного значения получаем, что

(1.2.5)

Аналогично, если - нечетное, то и для всех , то есть , поэтому для нечетного значения имеем, что

(1.2.6)

Выведем ещё одно свойство циклотомических чисел. Умножив уравнение слева и справа на , получим равносильное ему соотношение: , которое имеет столько же пар решений u,v, что и исходное. Таким образом, получаем следующее очень важное свойство циклотомических чисел:

.