3/4/3 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка с переменным шагом

Для запуска вычислительной схемы необходимы следующие исходные данные: начальное значение шага интегрирования h, интервал определения независимого переменного t: [t_о,t_к], начальные значения искомой функции Y в точке t_о, т. е. f(t_о)=y_о, заданная точность вычисления искомой функции Е.

Вычислительная схема реализуется следующим образом:

1.Отыскивается приближенное решение W_i+1 в точке t_i+h с шагом h по формулам

W_i+1 = y_i+ (1/6) (K_1i+2K_2i+2K_3i+K_4i), (3.35)

(3.36)

2. Отыскивается приближенное решение

X_i+1 = y_i+(1/6)(K_1i+2K_2i+2K_3i+K_4i) (3.37)

в точке t_i+h₁ с шагом h₁=h/2.

Вычисление параметров K_1i, K_2i, K_3i, K_4i выполняется по формуле (3.36) с заменой h=h₁ на h/2.

3. Проверяется выполнение одного из неравенств

, при .

Если не выполняются ни одно из неравенств, то исходный шаг делится пополам, то есть h=h/2, и выполняется возврат к действию пп.1. В противном случае вычисляется уточненное решение в точке t_i+h

y_i+1 = X_i+1 - (W_i+1 - X_i+1)/15. (3.38)

4. Определяется шаг h, с которым будет вычисляться решение в следующей точке. Если , то шаг остается таким, каким он получен на предыдущей точке. Иначе, если , то шаг удваивается, т. е. h=2h.

5. Проверяется условие t_i>t_к, если оно выполняется, то искомая функция определена на заданном интервале независимого переменного [t_о,t_к]. Иначе рассчитывается значение в следующей точке, начиная с действия пп.1.

3/4/4 Метод Кутта-Мерсона с переменным шагом

Для запуска вычислительной схемы необходимы следующие исходные данные: начальное значение шага интегрирования h; интервал определения независимого переменного t[t_о,t_к]; начальное значение искомой функции f(H_о) = y_о в точке t₀; заданная точность вычисления искомой функции Е.

Вычислительная схема реализуется следующим образом:

1. Рассчитываются параметры:

К_1i = (h/3)f(t_i,y_i),

K_2i = (h/3)f(t_i + h/3; y_i + K_1i),

K_3i = (h/3)f(t_i + h/3; y_i + K_1i/2 + K_2i/2),

K_4i = (h/3)f(t_i + h/2; y_i +(3/8) K_4i +(9/8) K_3i),

K_5i = (h/3)f(t_i +h, y_i +(3/2)K_1i -(9/2)K_3i + 6K_4i).

2. Вычисляется первое приближение искомой функции в следующей точке:

W_i+1 = y_i +(3/2)K_1i -(9/2)K_3i + 6K_4i.

3. Уточняется первое приближение

y_i+1 = y_i +(1/2)(K_1i + 4K_4i + K_5i).

4. Погрешность вычисления определяется по формуле

.

5. Проверяется условие

D_i+1 ≤ E, при ,

D_i+1 ≤ E при .

Если условие не выполняется, то шаг интегрирования делится пополам, и вычисления возобновляются с действия пп.1. Иначе, решение в точке i+1 получено с заданной точностью и может быть продолжено интегрирование в следующей точке.

6. Определяется шаг интегрирования для следующей точки.

Если при y_i+1≤1

или D_i+1 32≤E y_i+1 при y_i+1 > 1,

то шаг удваивается, иначе — шаг остается неизменным.

7. Проверяется условие t_i > t_к. Если оно выполняется, то интервал интегрирования исчерпан и вычисления заканчиваются. Иначе определяется значение искомой функции в следующей точке, путем возобновления вычислений с действия пп.1¹.