1. Корреляционные функции

Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции х (t) и х (t₁), взятых в моменты времени t и t₁, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена аналогично из выражения

. (2.18)

где w₂(x, t; x₁, t₁) – двумерная плотность вероятности.

Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент x(t) и x₁(t), т.е.

. (2.19)

В этом случае корреляционная функция (2.18) может быть представлена в виде суммы

. (2.20)

Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени х (t₁) от предшествующего значения х (t) в момент времени t. Это есть мера связи между ними.

Рассмотрим основные свойства корреляционных функций.

1. Из определения корреляционной функции (2.18) и (2.19) следует свойство симметрии: R(t, t₁) = R(t₁, t) и R⁰(t, t₁) = R⁰(t₁, t).

2. При t₁=t корреляционная функция R(t, t₁) дает средний квадрат случайной величины, а R⁰(t, t₁) – дисперсию:

.

3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дис­персии. Поэтому корреляционная функция R° (t, t₁) не изменится, если к слу­чайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свой­ство не относится к функции R(t, t₁), так как добавление неслучайных величин к случайным величинам изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.

Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция

. (2.21)

Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин х (t) и у (t):

(2.22)

.

В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (t) и у (t) называют некоррелированными.

Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то х (t) и у (t) носят название коррелированных случайных функций.

В случае стационарности процесса корреляционные функции R (t, t₁) и R⁰(t, t₁) не будут зависеть от текущего значения времени t и будут определяться только временным сдвигом .

С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения х (t) и х (t + ) или и :

(2.23)

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени t + от предшествующего значения в момент t.

Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величине R ( ).

1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. R (- ) = R( ). Это вытекает из самого определения корреляционной функции.

2. При = 0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

.

3. При корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем это. На основании эргодической гипотезы

.

П ри величины x₁ и x₂ можно считать независимыми. Отсюда получим

.

4 . Значение корреляционной функции при = 0 является ее наиболь­шим значением, т. е. имеет место неравенство . Докажем это. Рассмотрим очевидное неравенство

.

С делаем преобразование

.

В озьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей. В результате получим:

,

откуда и вытекает следующее неравенство: .

5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени , так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее.

6. Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает R ( ) с увеличением . Например, у самолета как подвижной цели связь между последующими и предыдущими положениями (при заданном ) будет тем меньше, чем легче и маневреннее. Отсюда следует, что, чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут присутствовать в случайном процессе.

На рисунке 2.12 в качестве примера приведены две кор­реляционные функции и две соответствующие им реали­зации процесса при одинако­вых среднеквадратичных значениях случайной величины. Второй процесс по сравне­нию с первым имеет более тонкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты. Таким образом, при известной корреляционной функции легко опреде­ляются следующие вероятностные характеристики:

а) среднее значение (момент первого порядка)

;

б) среднеквадратичное значение (момент второго порядка)

;

в) дисперсия

;

г) среднеквадратичное отклонение

.

Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи (рисунок 2.13). Обработка имеющейся осцил­лограммы производится следующим обра­зом. Весь интервал записи осциллограм­мы Т делится на N равных частей, дли­тельность которых составляет

.

Затем для различных значений =m t находятся средние значения произведений ординат:

.

По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала m и времени =m t.

Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента при помощи специальных приборов – корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга.

Рисунок 2.12.

Рисунок 2.13

Если найденная корреляционная функция R( ) содержит постоянную составляющую , то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции R⁰( ) в соответствии с (2.19), т.е. R⁰( )=R( ) - .

Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

,

которая удобна тем, что всегда .