3. Моделирование дс методом понижения порядка производной в среде проблемно ориентированных пакетов прикладных программ.

Основу метода структурного представления ДС составляют вычислительные системы, реализующие аппаратно или программно элементарные математические функции. Предположим, что у нас есть система, имеющая функциональные блоки, выполняющие математические операции, например:

интегрирующий блок - "I":

Y(t) =  X(t) dt, (1.9)

блок суммирования - "+":

Y(t) = X₁(t) + X₂(t) + X₃(t) ..., (1.10)

блок масштабирования - "G":

Y(t) = k  X₁(t), (1.11)

блок инвертирования - "-":

Y(t) = -X(t), (1.12)

блок введения постоянного входного воздействия - "K":

Y(t) = , (1.13)

блок умножения - "X":

Y(t) = X₁(t) * X₂(t), (1.14)

блок деления - "/":

Y(t) = X₁(t)/X₂(t). (1.15)

Рассмотрим метод решения линейных дифференциальных уравнений с помощью вычислительной системы, позволяющей реализовывать функции (1.9)-(1.15).

ДС описывается дифференциальным уравнением

(1.16)

y(0) = y'(0) = y''(0), f(t) = 1(t)K₁. (1.17)

Решение дифференциального уравнения (1.16) методом понижения порядка производной заключается в выполнении следующих действий.

1. Уравнение (1.16) приводится к нормальному виду

(1.18)

2. Предполагаем, что можно получить сумму, равную правой части уравнения (1.18) — (d³y(t)/dt³). Тогда, интегрируя ее n раз (в данном случае n=3), мы получим искомую координату y(t), а также ее производные y'(t), y''(t).

Сумму, равную (d³y(t)/dt³), получают как линейную комбинацию y''(t), y'(t), y(t) и входного сигнала f(t). С учетом обозначений функциональных блоков (1.9)-(1.15) схема вычисления y(t) примет вид, изображенный на рисунке 1.1.

Рассмотренная методика нашла применение при исследовании ДС как на АВМ, так и на ЭВМ в проблемно ориентированных пакетах прикладных программ типа MACC, MIK , MATLAB.

Обозначения функциональных блоков в (1.9)-(1.15) соответствуют принятым в ППП MACC, а схема решения задачи моделирования дифференциального уравнения методом понижения порядка производной приведена на рисунке 1.1.

p₁=b₁/A₀

(B₁/A)f(t) f(t)   p₁=k₁

=d³y(t)/dt³ d²y/dt² dy/dt y(t)

-A₂/A₀)d²y/dt² p ₁=A₁/A₀

-(A₂/A₀)dy/dt p₁=A₂/A₀

-(A₃/A₀)y(t) p₁=A₃/A₀

Рисунок 1.1 — Схема решения дифференциального уравнения

методом понижения порядка производной

4. Программная система мik

Программный комплекс МIК-система автоматизированного синтеза программ для имитационного моделирования электроприводов предназначен для решения следующих задач:

1. автоматизированного построения прямых вычислительных моделей непрерывно-дискретных динамических систем, в том числе и с микропроцессорным управлением;

2. автоматизированного проведения вычислительных экспериментов на указанных выше моделях;

3. анализа и отладки алгоритмов цифрового управления с адекватным учетом эффектов квантования по времени и уровню, логики управляющего алгоритма, величины разрядной сетки УВМ и запаздывания в выдаче управляющих воздействий.

4. Взаимодействие пользователя с ЭВМ осуществляется с помощью проблемно ориентированных языков описания блочных и структурных моделей динамических систем, а также непроцедурного языка кодирования алгоритмов цифрового и микропроцессорного управления. При описании объекта на языке блочных схем осуществляется автоматическое формирование структурной модели.

5. Входной язык системы МIК представляет собой проблемно ориен­ти­рованный язык описания структурных моделей динамических систем. Язык предназначен для специалистов в области автоматического управления, не являющихся профессиональными программистами, и состоит из следующих компонент: директив управления; операторов описания структуры и параметров модели; операторов описания параметров вычислительного эксперимента; операторов описания форм выходных документов; комментариев. Описываемая в пособии версия ППП MIK работает в среде MS DOS.

Рисунок 1.2 — Программный аналог математической модели (10.18) в среде ППП МИК

Полное описание МIK приводится в учебном пособии². Далее приводятся пример программы и комментарии применительно к задаче решения уравнения (1.19).

(1.19)

где A₀=1, A₁=2, A₂=4, B₀=1,

U₁(t) = A_OU∙(1 - е^-t/Tu), A_OU = 1, T_u = 10.0.

Структурная схема для решения уравнения (1.19) на средствах MIK методом понижения порядка производной изображена на рисунке 1.2.

Для рассматриваемого примера коэффициенты передачи блоков:

N1,2: W=1/p,

N3: W= A2/Ao=C2 = -4,

N4: W= A1/Ao=C1 = -2,

N5,6: W=1,

N7: W= -(Bo/Ao)•AOU = -1,

N8: V=1,

N9: V= (Bo/Ao)•AOU = 1,

N12: W= alfa =1/TU = 0.1.

Таблица 1.1 — Программа моделирования ДС на средствах языка МIK

Программа	Комментарии
$Ввод	1. Директивный оператор, объявляющий вход в MIK
1l W=1/p вх=6 3u W=-1.0 вх=2 2l W=1/p вх=1 4u W=-2.0 вх=1 5u W=1 вх=9+7 6u W=1 вх=3+5+4 7u W=-1 вх=10 8v V=1 9v V=1 10n ДЕЛ вх=8+11 11n EXP вх=12 12u W=10.0 вх=13 13c ВРЕМЯ ***	2.Приводится описание структуры и параметров схемы (см. рисунок 10.2.). Последовательность записи блоков может быть произвольной. MIK оператор содержит информацию и о структуре, и о параметрах функциональных блоков задачи, а также информацию о типе блока (l-линейный, u-усилительный, v-входной и т.п.)
Вывод 1,2,5,6 Выходы 1=DYDt,2=Y,5=U1,6=D2YDt2 инт RKT4C шаг инт=0.01 шаг выв=0.1 кон вр=7.0 $кон $стоп	3. Приводится описание задания на интегрирование уравнений в соответствии со схемой на рисунке 10.2

Блоки 10, 11, 13 параметров не имеют. На выходе отдельных блоков формируются следующие сигналы, каждый из которых можно вывести на печать, например:

N1: dY(t)/dt,

N2: Y(t),

N5  U1(t) = (Bo/Ao)•AOU•(1 - EXP(-t/Tu)),

N6  SUM = d²Y(t)/dt² .