3.7 Отражение и преломление плоских волн на плоской границе раздела сред
Граничные условия, рассмотренные в разделе 2.4, позволяют исследовать явления, происходящие на границе раздела сред при падении на нее плоской гармонической волны. Будем считать границу плоской, что справедливо и для неплоской границы, если ее кривизна много меньше длины волны. Очевидно, что электромагнитные явления на границе связаны с отражением и преломлением которые известны из оптики. Однако важно подчеркнуть, что отраженные и преломленные электромагнитные волны возникают с неизбежностью, так как только для одной падающей волны на границу раздела нельзя удовлетворить граничным условиям.
Постановка
задачи, связанная с падением плоской
волны на границу под произвольным углом
требует иного описания волны, чем оно
было сделано в разделе 3.3. Будем считать,
что плоская волна со стороны среды с
параметрами падает под углом на границу
со средой , совпадающую с плоскостью
X0Z. Координатная
система показана на рис.3.6. Для описания
плоской волны распространяющейся вдоль
направления не совпадающего не с одной
координатной осью X0Z
удобно ввести волновой вектор k
направление которого совпадает с
направлением распространения волны, а
модуль равен волновому числу (постоянной
распространения). Для плоской волны
вектор k нормален к фазовому
фронту. Допустим, что волна распространяется
вдоль оси рис.3.6. Тогда
где
орт направления оси . Как известно,
произвольное направление в пространстве
характеризуется проекциями единичного
вектора (в нашем случае) на оси X,
Y, Z, которые
называются направляющими косинусами.
Поэтому
(3.29)
В
(3.29) сумма квадратов косинусов равна
единице. Координаты X, Y,
Z в произвольной точки в
плоскости фазового фронта можно задать
с помощью радиуса вектора
. Положение фазового
фронта определяется произвольным
значением
рис.3.7. Как видно из рисунка
является проекцией радиуса вектора
на оси . Поэтому
Таким образом, фазовый множитель плоской волны, распространяющейся вдоль направления можно записать в виде
При произвольной ориентации векторов E и H в плоскости фазового фронта с учетом того, что E, H и k образуют правовинтовую ортогональную систему, можно по аналогии с (3.15) можно записать в виде
(3.30)
На рис.3.6 в системе координат показаны положения волновых векторов падающей k1, отраженной волны и преломленной . Согласно общему соотношению (3.30) енапряженности электрического и магнитного поля для трех волн можно записать в виде
Падающая волна
(3.31.а)
Отраженная волна
(3.31.б)
Преломленная волна
(3.31.в)
где
Граничные условия должны удовлетворяться на всей плоскости X0Z т.е. при y=0. При отсутствии зарядов и тока проводимости на границе раздела граничные условия согласно соотношениям раздела 2.4 с учетом обозначения волн (3.31) имею вид
1. непрерывность нормальных составляющих электрической и магнитной индукций в соответствии с (2.34) и (2.32) и обозначений рис. 3.6 запишем в виде
Где орт нормали к границе (3.32.а)
(3.32.б)
2. непрерывность касательных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей в соответствии с (2.42) и (2.38) и рис. 3.6 следует записать в виде
(3.33.а)
(3.33.б)
Уравнения (3.32) могут быть разрешены только при условии, если фазовые множители в (3.31) будут одинаковыми. Поэтому, в плоскости раздела X0Z должно быть выполнено условие
(3.34)
Уравнение (3.34) отражает тот факт, что три волны находятся в плоскости падающей волны X0Z. В обозначениях рис.3.6 соотношения (3.34) могут быть переписаны в виде
(3.35)
Соотношения (3.35) должны удовлетворяться вдоль всей оси z поэтому должны быть выполнены условия
Отсюда следуют законы Снелиуса известные из оптики угол падения равен углу отражения, 2. угол падения и угол преломления связан соотношение
(3.36)
Так как постоянные распространения обратно пропорциональны фазовым скоростям волн, то (3.36) можно представить в эквивалентном виде
Вернемся к уравнениям (3.32) и (3.33). Они могут быть решены относительно амплитуд при условии, что выполнено соотношение (3.36). Так как система уравнений (3.32) и (3.33) однородна, то ее решение может быть получено в виде отношения амплитуд. В электродинамике устанавливаются отношения амплитуд преломленной и отраженной волн к амплитуде падающей. В этом случае ясен физический смысл этих соотношений. Отношение
(3.37)
называют
коэффициентом прохождения, который
определяет амплитуду в преломленной
среде с
, а
определяет долю мощности электромагнитной
волны прошедшей через границу раздела
сред. Отношения
(3.38)
называют
коэффициентом отражения от границы
сред. Он определяет амплитуду отраженной
волны, а
долю отраженной мощности. Если в
(3.37) и (3.38) амплитуды комплексные, то
становятся комплексными величинами, и
в этом случае, переходя к оценке мощностей
надо вычислять квадраты модулей
. Очевидно, что отношения амплитуд
прошедшей и отраженной волн, как уровни
мощности, вычисляются в долях амплитуды
и мощности падающей волны. Таким образом,
система четырех уравнений (3.32) и (3.33)
может быть разрешена относительно двух
неизвестных величин
. Очевидно, что в этом случае два
уравнения лишние.
В классической электродинамике рассматривают два случая падения волны на границу раздела:
1. вектор E (вектор поляризации) падающей плоской линейно поляризованной волны раздел 3.3 лежит в плоскости падения, образованной векторами (в нашем случае это плоскость X0Z)
2. вектор E (вектор поляризации) падающей плоской линейно поляризованной волны нормален к плоскости падения.
Общий случай электромагнитной волны с эллиптической поляризацией может быть получен линейной комбинацией этих двух волн (раздел 3.4). На рис. 3.8 и рис.3.9 представлены векторы E и H рассматриваемых волн в системе координат. Взаимное расположение векторов выбраны из условия правовинтовой системы, так, что вектор Пойнтинга направлен вдоль волновых векторов.
Рассмотрим с начала падение волны с электрическим полем в плоскости падения рис.3.8. Для этого случая вектор H нормален к плоскости падения, поэтому скалярные произведения равно нулю для всех волн и уравнения (3.32) выпадают из рассмотрения. Оставшиеся три уравнения (3.32.а), (3.33.а) и (3.33.б) запишем в том виде, который следует из (3.31) согласно системы координат рис.3.8
(3.39.а)
(3.39.б)
(3.39.в)
Соотношения (3.39) элементарно преобразуются к виду
(3.40.а)
(3.40.б)
(3.40.в)
Очевидно, что соотношения (3.40.а) и (3.40.в) идентичны, если выполнено условие
(3.41)
В том, что оно выполняется, легко убедиться, подставив в (3.41) соотношения Снелиуса (3.36). Оставим в (3.40) первые два уравнения
(3.42)
(3.43)
В
том случае, если нет границы раздела (
), то из (3.36) следует, что
из (3.42) из (3.43) Г=0
.
В
случае нормального падения волны
из закона Снелиуса следует, что
, а (3.42) и (3.43) приводятся к виду
(3.44)
Рассмотрим случай падения плоской волны с вектором E нормальным к плоскости падения. В этом случае вектор E касателен к поверхности раздела. На рис.3.9 векторы E и H падающей, отраженной и преломленной волн показаны в системе координат. В силу того, что скалярное произведение для каждой волны, уравнение (3.32.а) выпадает из рассмотрения. Можно показать по аналогии с предыдущим случаем, что равенство нормальных составляющих магнитной индукции на границе раздела, соотношение (3.32.б) идентично равенству касательных составляющих электрического поля (3.33.а). Поэтому выберем для решения пару уравнений (3.30.а) и (3.33.б) и представим их в проекциях на оси в системе координат рис. 3.9 в виде
Отсюда после элементарных преобразований найдем соотношения для коэффициентов прохождения и отражения в виде
(3.45)
(3.46)
Для нормального падения волны соотношения (3.45) и (3.46) сводятся к соотношению (3.44)