3.6 Суперпозиция плоских волн с близкими частотами. Групповая скорость

В предшествующих разделах были рассмотрены плоские монохроматические волны, которые возникают как решение уравнения Максвелла при условиях строго не выполняемых в реальности. Это относится и к понятию плоской волны и к монохроматической волне, как существующей на одной частоте. Реальными электромагнитными явлениями могут быть только волны, сложным образом зависящие от времени. Всякое колебание несущее информацию является модулированным колебанием или сигналом. Но сигнал как сложное колебание имеет спектр частот. Будем считать спектр частот дискретным. Тогда в среде, в которой фазовая скорость зависит от частоты, все частотные составляющие спектра сигнала будут распространяться как плоские волны со своей фазовой скоростью. Среда, обладающая такими свойствами называется диспергирующей, а зависимость фазовой скорости от частоты дисперсионной зависимостью. Примером, является среда с потерями. Таким образом, модулированное колебание распространяется в пространстве в виде пакета плоских волн, в котором каждой волне отвечает одна частота спектра. Для сигнала с непрерывным спектром можно сохранить модель пакета волн, но частоты волн в пакете будут близки друг к другу.

В диспергирующей среде возникают очевидные особенности. Во первых, при распространении волны изменяются фазовые соотношения между частотными составляющими, так как они распространяются с разными фазовыми скоростями. Это приводит к изменению формы сигнала. Во вторых, требуется определение скорости потока энергии или скорости сигнала. В электродинамике скорость потока энергии определяют как скорость перемещения пакета волн. В зависимости от формы сигнала и степени дисперсии среды, пакет волн может и не иметь определенной формы. В этом случае, скорость переноса энергии не имеет определенного значения. Поэтому, рассмотрение общего случая сильно диспергирующей среды и сигнала с широким спектром (например, очень короткого импульса), является сложным. Распространение сигнала с относительно узким спектром в среде с малой дисперсией может быть рассмотрено приближенным образом.

Допустим, что в диспергирующей среде постоянная распространения зависит от частоты. Обозначим ее . Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн с близкими частотами где . Обычно является медленно меняющейся функцией, поэтому на близких частотах можно представить в виде

Найдем результирующую волны как суперпозицию плоских волн с одинаковыми амплитудами. Буде считать, что волны распространяются вдоль оси z, а векторы поля ориентированы вдоль одной из осей координат. Поэтому, опустив обозначение векторных величин запишем

Преобразуем это соотношение к виду

На основании формулы Эйлера получим, что

(3.26)

Таким образом, в результате сложения двух волн с близкими частотами, возникает плоская волна, амплитуда которой, является медленно меняющейся функцией частоты . Такое колебание является узкополосным – амплитудно-моделированным с шириной спектра . Максимум амплитуды перемещается вдоль оси z со скоростью, которую называют скоростью перемещения пакета волн или групповой скоростью

(3.27)

Таким образом, модулированной колебание соответствует пакету из двух волн, скорость перемещения которого равна скорости перемещения амплитуды, определенной соотношение (3.27). Найдем длину пакета, как расстояние между ближайшими амплитудами. Из (3.26) следует, что положение максимумов определяется соотношениями

Поэтому длина пакетов волн определяется как

(3.28)

Воспользуемся тем, что групповая скорость, частота и длина волны связаны соотношением

Отсюда найдем, что и подставим в (3.28), получим

Таким образом длина волнового пакета должна быть много больше длины волны. В этом случае волновой пакет будет перемещаться не деформируясь, а его амплитуда будет периодической функцией распространяющейся со скоростью . В среде без дисперсии скорости фазовая и групповая совпадают.