2.4. Граничные условия для электромагнитного поля

Уравнения электромагнитного поля были получены Максвеллом для однородной среды. В такой среде ее свойства сохраняются неизменными либо изменяются непрерывно. Во многих задачах электродинамики возникают разрывы непрерывности, вызванные наличием границ между средами с разными диэлектрическими, магнитными или проводящими свойствами. Поэтому уравнения Максвелла должны быть дополнены условиями для электромагнитных характеристик поля при переходе через границу раздела сред. Эти условия называются граничными. Их выполнение позволяет получить единственное решение уравнений Максвелла в структурах разделенными границами. Решение уравнений полученные для каждой среды в отдельности “сшивают” граничными условиями, и тем самым, получают решения уравнений Максвелла для сред со скачкообразным изменением свойств.

Допустим, что поверхность S разделяет две среды с различными значениями диэлектрической и магнитной проницаемости, так как это показано на рис.2.1. Выделим элементарный круглый цилиндр, который пересекает границу, и частично находится в первой и второй средах (рис.2.1). Обозначим площадь основания цилиндра dS, а высоту CL. Примем условие, что элемент граничной поверхности имеет положительное направление по нормали в сторону второй среды, т.е. , где n – орт нормали, и отрицательное по нормали в сторону первой среды .

Рассмотрим сначала граничные условия для магнитной индукции B. Найдем поток индукции через поверхность цилиндра. В силу малых размеров цилиндра индукция в его объеме имеет постоянное значение. Поэтому при вычислении потока через поверхность цилиндра по формуле (1.22) интегрирование можно заменить умножением на площадь основания и площадь боковой поверхности. При условии, что значение индукции в первой среде равно B₁, а во второй B2 найдем полный поток индукции как сумму потоков через основание и боковую поверхность и приравняем его нулю

(2.28)

где Ф_бок часть потока индукции через боковую поверхность цилиндра.

Перейдем в (2.28) к пределу устремив CL к нулю. В предельном переходе основания цилиндров станут элементом граничной поверхности dS направленным по нормали n с положительным направлением в сторону второй среды. Поток через боковую поверхность пропорционален высоте цилиндра CL. Поэтому в предельном переходе Ф_бок стремится к нулю и (2.28) принимает вид

(2.29)

Скалярные произведения в (2.29) равны: , где и нормальные составляющие векторов магнитной индукции на границе раздела со стороны первой и второй среды. Следовательно из (2.29) следует, что

(2.30)

Таким образом при переходе через границу сред с разрывом непрерывности свойств нормальная составляющая магнитной индукции непрерывна. Это надо понимать так, что на границе раздела значение нормальной составляющей равно .

Допустим, что рассматриваемая граница разделяет среды с различными магнитными свойствами, характеризуемыми разными значениями относительной магнитной проницаемости ₁ и ₂. Тогда из (2.30) сразу следуют условия на границе для нормальных составляющих напряженности магнитного поля

(2.31)

или в форме (2.29)

(2.32)

Из этих соотношений следует, что нормальная составляющая напряженности магнитного поля на границе раздела сред с разными магнитными свойствами претерпевает разрыв.

С электрической индукцией D можно поступить подобным же образом. На основании теоремы Гаусса (1.12) поток вектора индукции D через замкнутую поверхность равен заряду заключенному в объеме

(2.33)

В соответствии с рассматриваемой задачей, заряд q в объеме выделенного элементарного цилиндра рис.2.1 если он существует, то распределен по поверхности раздела с поверхностной плотностью . В предельном переходе при CL стремящейся к нулю, основания цилиндра совпадут с элементом поверхности dS, заряд в объеме станет равным , поток индукции через боковую поверхность цилиндра исчезнет, интеграл (2.33) примет вид аналогичный (2.28) с правой частью равной ξdS и мы получим

(2.34)

Или

Условие (2.34) означает, что нормальная составляющая вектора электрической индукции к границе раздела изменяется на величины поверхностной плотности заряда при переходе через границу. Если граница раздела свободна от зарядов, то нормальная составляющая электрической индукции непрерывна. Из (2.34) при =0 следует, что

(2.35)

Перейдем к рассмотрению касательных составляющих поля на границе раздела сред. На рис.2.2 изображена малая прямоугольная область, широкие стенки которой длиной CL ориентированы вдоль касательной к поверхности раздела. Вид границы раздела не имеет существенного значения, так как на малой длине поверхность можно считать плоской, что и показано на рис.2.2. Орт нормали к плоскости прямоугольника на рис.2.2. обозначен n₀. Используем интегральную форму первого уравнения Максвелла. Для этого проинтегрируем обе части (2.11.а) по площади прямоугольной области рис.2.2. и на основании теоремы Грина в левой части уравнения Максвелла получим циркуляцию вектора H по контуру прямоугольника

(2.36)

где J – плотность тока через прямоугольник.

В силу элементарных размеров области S интегрирование можно заменить умножением H на длину широких стенок прямоугольника в левой часть соотношения (2.36) и на площадь прямоугольника в правой его части. С учетом направления обхода контура и того, что , получим

(2.37)

где C_бок – циркуляция по узким стенкам, значение которой пропорционально Δh . Переходя к предельному переходя, устремим Δh к нулю и из (2.37) получим

(2.38)

Отсюда сразу следует, что касательные составляющие магнитного поля к границе непрерывны то есть

(2.39)

Касательные составляющие магнитной индукции B претерпевают разрыв на границе разделяющие области с разными магнитными свойствами. Так как , то на границе в силу соотношения (2.39) касательные составляющие магнитной индукции должны подчиняться условию

(2.40)

Предельные переход к нулю в (2.37) обнуляющий правую часть этого соотношения не учитывает того обстоятельства, что при сближении широких стенок прямоугольника ток сквозь него может течь в форме поверхностного тока. Поверхностный ток не является физической реальностью, так как ток должен занимать объем проводника. Однако он может рассматриваться, например, в качестве модели тока, текущего в объеме тонкой металлической пленки. В этом случае, металлическая пленка, разделяющая среды имеет физический объем и ,следовательно, через нее может течь реальный ток. Однако в модельном представлении металлическую пленку можно считать бесконечно тонкой. Тогда ток через нее становится поверхностным (его размерность А/м), и в правой части (2.37) в предельном переходе при dH стремящемся к нулю можно представить плотность тока J поверхностным током в виде

Таким образом, в случае поверхностного тока граничное условие (2.38) принимает вид

или

(2.41)

где - составляющая поверхностного тока вдоль нормали к площади прямоугольника.

С учетом взаимной ориентации (рис.2.2) соотношение (2.41) можно записать в виде

Итак, касательная составляющая напряженности магнитного поля на границе раздела сред испытывает разрыв плотности поверхностного тока, текущего вдоль поверхности раздела.

Условие для касательных составляющих электрического поля на границе раздела найдем из второго уравнения Максвелла (2.11.б) перейдя к его интегральной форме.

По аналогии с предыдущим случаем для выделенного контура на рис.2.2, заменим интегрирование умножением и получим

В предельном переходе стремится к нулю, поэтому

Или

(2.42)

На основании линейной связи поля и индукции из (2.42) можно заключить, что касательная составляющая электрической индукции испытывает разрыв пропорциональный отношению диэлектрических проницаемостей сред

(2.42^*)

В заключении рассмотрим частный случай раздела сред. Пусть одна из них является идеальным металлом. Электромагнитное поле в металле равно нулю. Поэтому на поверхности металла, который является естественной границей двух сред со стороны диэлектрического слоя касательная составляющая электрического поля согласно (2.42) равна нулю. Нормальная к поверхности металла составляющая электрической индукции согласно (2.34) равна поверхностной плотности заряда на металле. Касательная составляющая напряженности магнитного поля в соответствии с (2.41) равна поверхностному току. Физический смысл поверхностного тока в металле будет пояснен в разделе . Таким образом граничные условия на идеальном металле имеют вид где n – орт нормали к поверхности металла. Следовательно электрическое поле нормально, а магнитное поле параллельно поверхности металла.

Практический смысл граничных условий заключен в теореме единственности для решений уравнений Максвелла. Согласно теореме электромагнитное поле в объеме, ограниченном поверхностью S является единственным, если оно удовлетворяет условиям на поверхности в виде заданного значения либо касательной составляющей электрического поля либо касательной составляющей магнитного поля. В более сложном случае на разных частях поверхности S могут быть заданы касательные составляющие электрического и магнитного поля, которым должно удовлетворять электромагнитное поле в объеме. С позиций рассмотренных выше граничных условий это означает, что электромагнитное поле на поверхности со стороны объема должно удовлетворять полю на границе с внешней стороны объема в форме граничных условий для касательных составляющих электрического и магнитного поля.

3. Гармонические плоские волны

3.1 Уравнения Максвелла для гармонических полей

В этом разделе мы рассмотрим электромагнитные поля, зависящие от времени по гармоническому закону. Это вид зависимости не является частным и те более не снижает общности описания полей при иной временной зависимости. Систему заряда и токов как источников поля изменяющихся во времени всегда можно разложить на гармоники в ряд или представить интегралом Фурье и рассматривать в отдельности каждую гармонику. Особенностью гармонической зависимости поля, является его установившейся характер, что исключает переходные процессы и следовательно начальные условия. Каждую характеристику поля, в уравнениях Максвелла (2.11) будем рассматривать как изменяющуюся по гармоническому закону. Например, напряженности поля E и H теперь будем записывать в декартовых координатах в виде , где - начальные фазовые сдвиги, а - круговая частота гармонического колебания.

Анализ гармонических процессов упрощается если заменить все физические величины на формальные комплексно значные величины где

Комплексные величины это формальные математические объекты не имеющие физического смысла, но удовлетворяющие уравнениям Максвелла. Важным упрощением формальной стороны анализа уравнений Максвелла при введении комплексных величин является замена дифференцирования по времени заменой на j. Например

Таким образом, первые два уравнения Максвелла (2.11) для комплексных величин принимают вид

В линейных средах

(3.1)

Очевидно, что уравнения Максвелла могут быть записаны и для комплексных амплитуд полей, так как в (3.1) экспоненциальный множитель в левой и правой частях может быть сокращен

(3.1^*)

где

Если комплексные величины E и H удовлетворяют уравнения Максвелла, то их вещественная и мнимые части так же удовлетворяют уравнениям. Переход от комплексных величин к полям осуществляется выделением их вещественных частей по формуле Эйлера

Если начальные фазовые сдвиги положить равными нулю, то комплексные амплитуды совпадают с амплитудами гармонических колебаний. Поэтому уравнение Максвелла (3.1^*) могут быть записаны в эквивалентной форме для амплитуд гармонических полей.

В заключении вернемся к уравнениям Максвелла, отразив в них особенности среды в которой существует поле. В идеальной диэлектрической среде с нулевой проводимостью (=0) и при отсутствии в ней свободных зарядов (=0) ток проводимости равен нулю, и уравнения Максвелла (3.1) принимают вид.

Однако в диэлектрической среде существуют потери и при отсутствии сквозной проводимости. Как известно в среде с потерями возникает фазовый сдвиг между полем и индукцией, что отражается комплексной диэлектрической проницаемостью где вызвано различными механизмами потерь в диэлектрике. Как всякая комплексная величина может быть записана в виде где - тангенс угла диэлектрических потерь значение которого на заданной частоте известно для используемого диэлектрика. Аналогично для магнитной среды с потерями . Таким образом для диэлектрической среды с потерями уравнение Максвелла имеет вид

Допустим, что среда обладает проводимостью , тогда ток J в уравнении (3.1) можно представить с помощью дифференциальной формы закона Ома в виде . В этом случае в правой части уравнения Максвелла (3.1) можно исключить ток J и преобразовать его к виду

где

(3.2)

где комплексная диэлектрическая проницаемость проводящей среды. На основании формальной аналогии с комплексной диэлектрической проницаемостью диэлектрика можно ввести тангенс угла потерь в виде

Значение может быть положено в оценку проводящих свойств среды. Если проводимость среды такова, что на частоте

То среду можно отнести к диэлектрику. В противоположном случае

среду считаю проводником. Таким образом уравнения Максвелла для гармонических полей в диэлектрической среде с потерями, не зависящих от причин их вызывающих можно представить их в виде

(3.3)

дополнив их соотношениями

Первое соотношение из этой пары следует из первого уравнения Максвелла так как всегда

Оно не противоречит закону непрерывности тока если среда проводящая. Действительно, для проводящей среды соотношение непрерывности тока имеет вид и оно непосредственно следует из (3.3) если учесть (3.2). Поясним это. Подставим вместо в (3.3) ее выражение из (3.2). Возьмем дивергенцию от обеих частей (3.3) получим

Но так как в проводящей среде то сразу получаем соотношение непрерывности гармонического тока.