2.3. Энергия электромагнитного поля. Теорема Пойнтинга

Для электромагнитных полей важное значение имеет определение энергии поля. В электростатике электрическое поле было введено для удобства описания взаимодействующих зарядов. Поэтому, вопрос о реальности поля, как самостоятельного физического понятия в электростатике не возникает. В нестационарном случае Максвелл интерпретировал магнитное поле, как силовое поле с присущими ему такими механическими величинами как сила и энергия. Очевидно, что сами эти понятия возникают только при описании взаимодействующих зарядов. Поэтому они могут быть выражены через поля создаваемые зарядами. Однако, поскольку само понятие поля достаточно для описания действительности, то механические величины можно выразить через интегралы для функций поля. Единственным критерием правильности соотношений, выражающих механические величины через электрическое поле, является их эквивалентность соотношениям, в которые входят непосредственно заряды создающие поле. В этой связи, напомним вывод соотношения для электростатической энергии взаимодействующих зарядов. Энергия W (или работа) затрачиваемая на сближение двух зарядов q₁ и q₂ определяется как

(2.12)

где F – кулоновская сила взаимодействия двух зарядов, r- расстояние между ними.

На основании (1.1) из (2.12) найдем, что

(2.12^*)

Электростатика не предполагает движения зарядов. Поэтому соотношение (2.12) следует понимать как работу совершаемую по переносу одного из двух зарядов из бесконечной точки в положение, когда заряды удалены на фиксированное расстояние r. При сближении зарядов, одни из них преодолевает силу поля созданного неподвижным зарядом и препятствующую их сближением. Таким образом, энергия неподвижных электростатических зарядов есть энергия их состояния. Эта энергия должна быть где то запасена. С общепринятой точки зрения, энергия запасается в поле зарядов, и как будет показано ниже, непосредственно не зависит от зарядов, создающих это поле.

Перейдем к системе зарядов. Следуя только что изложенной логике, система зарядов образована их переносом из бесконечных точек в стационарное положение, в котором заряды распределены расстояниями где I и j условные номера зарядов в системе N зарядов. На основании принципа суперпозиций, заключающегося в том, что результирующая кулоновская сила, действующая на один из выделенных зарядов, со стороны всех остальных зарядов равна геометрической сумме кулоновских сил, возникающих между всеми парами зарядов, можно представить полную энергию системы зарядов как сумму энергий всех пар взаимодействующих зарядов в виде (2.12^*). Представим это утверждение в виде

(2.13)

где r_i,j расстояние между зарядами в системе. Суммирование в (2.13) проходит для ij, так как каждый заряд с собою не взаимодействует. Коэффициент ½ в (2.13) определяется тем, что r_i,j=r_j,I и слагаемые в сумме равны друг другу. На основании правила вычисления потенциала созданного системой зарядов, в месте расположения заряда q можно представить в виде

(2.14)

где - результирующий потенциал в системе зарядов в месте расположения зарядов .

Соотношение (2.14) представляющего энергию взаимодействующих зарядов, можно преобразовать на случай непрерывного распределения заряда с объемной плотностью . Как и систему дискретных зарядов, образование объема с непрерывным распределением заряда можно представить в виде постепенного накопления бесконечно малых зарядов вносимых в объем из бесконечно удаленной области. Работа совершаемая при сближении этих зарядов затрачивается на преодоление силы поля зарядов уже существующих в объеме. Обозначим через CV_i бесконечно малый заряд и заменим в сумме (2.14) q_i на CV_i. Результирующий потенциал. _i в (2.14) заменим потенциалом , создаваемым объемным зарядом. Перейдем в (2.14) к интегрированию и найдем

Таким образом, энергия распределенного заряда с объемной плотностью  и потенциалом  равна

(2.15)

Перепишем это выражение в виде функции от векторов индукции и напряженности поля, воспользовавшись тем, что

(2.16)

На основании тождества

и соотношений (2.16) и (2.15) найдем, что

или

(2.17)

Если поверхность S ограничивающая объем V, удалена на большое расстояние, то вторым интегралом в (2.17) можно пренебречь, так как потенциал  уменьшается с расстоянием как r^-1 а поле E как r^-2. В явном виде это следует из закона Кулона (1.1) и для потенциала (1.2). Поверхность же интегрирования возрастает пропорционально второй степени r. Поэтому подынтегральная величина в (2.17) на поверхности сферы пропорционально в r^-1 и следовательно интеграл стремится к нулю при r стремящемся к бесконечности. Таким образом, работа (энергия) при сближении зарядов в электростатическом поле оказывается выраженной соотношением

(2.18)

через интеграл только от напряженности поля так как в линейной связи . Соотношения (2.13), (2.14), (2.18) эквивалентны, но выражены через заряды или характеристику поля. Это означает, что действие поля на систему зарядов не зависит от природы источников поля. Таким образом объемная плотность энергии электрического поля согласно (2.18) равна

(2.19)

В диэлектрической среде , поэтому можно представить как

(2.20)

В (2.20) величина E² представляет собой квадрат длины вектора .

Плотность энергии электрического поля удалось связать с напряженностью поля при вычислении работы по сближению зарядов при котором изменялось поле. Рассмотрение аналогичного процесса для магнитного поля приводит к формуле для плотности энергии магнитного поля. В классической электродинамике доказано, что для плотности магнитной энергии справедливы соотношения аналогичные (2.19) и (2.20) для энергии электрического поля, то есть

(2.21)

Для электромагнитного поля то есть для нестационарного поля в общем случае допускается, что его энергия образуется сложением энергий электрического и магнитного полей без изменения соотношений (2.20) и (2.21), полученных для статических полей. Поэтому плотность энергии электромагнитного поля равна

(2.22)

Установим соответствие соотношения (2.22) закону сохранения энергии. Для этого введем вектор Пойнтинга

(2.23)

и поясним его физический смысл.

Для произвольного случая соотношение (2.23) на основании тождества

можно представить в виде

Преобразуем полученное соотношение с помощью уравнений Максвелла (2.11.а и 2.11.б) к виду

(2.24)

Отсюда с учетом (2.22) получим

(2.25)

Соотношение (2.25) называют уравнением непрерывности для электромагнитного поля или законом сохранения энергии или уравнением Пойнтинга в дифференциальной форме. Интегрируя обе части (2.25) по объему V, используя теорему Гаусса, найдем выражение для закона сохранения энергии в интегральной форме

(2.26)

Вектор S (2.23) имеет размерность Вт/м² и следовательно представляет собой плотность потока мощности или энергию в единицу времени электромагнитного поля. Поэтому, второй интеграл в (2.26) равен потоку энергии через произвольную поверхность. В правой части (2.26) под интегралом стоит объемная плотность тепловой энергии за единицу времени, в которую необратимо превращается часть энергии электромагнитного поля при неизбежном (с физических позиций) токе среде. Поэтому правую часть (2.26) можно рассматривать как работу, совершаемую электромагнитным полем в объеме V над зарядами, определяющими ток в среде. Иначе говоря, интеграл в правой части (2.26) равен тепловой мощности P, возникающей в объеме V при взаимодействии поля с веществом. Обозначим

Первый интеграл в (2.26) представляет полную энергию электромагнитного поля W . С учетом сказанного выше перепишем (2.26) в эквивалентном виде

(2.27)

Физический смысл интегральный (2.26 – 2.27) и дифференциальный (2.25) формы закона сохранения энергии заключается в том, что скорость изменения энергии электромагнитного поля внутри произвольного объема равна сумме тепловой энергии и потока энергии через поверхность ограничивающей объем.

Рассмотрим два частных случая. Допустим, что в объеме V отсутствуют заряды. Тогда тепловая энергия P=0 и закон сохранения энергии дает основание для следующего вывода. Если энергия поля в объеме с течением времени уменьшается, в этом случае поток энергии долен быть положительным чтобы выполнялось соотношение (2.27). Положительное значение потока энергии означает, что он вытекает из объема, так, что убыль энергии приходится только на излучение из объема. При наличии тепловых потерь и при и убыль энергии расходуется на тепло и излучение из объема.

В заключении заметим, что в зоне сохранения энергии фигурирует только дивергенция вектора Пойнтинга, поэтому к S всегда можно прибавить ротор произвольного вектора А, так как дивергенция ротора равна нулю. Однако этот добавочный член не приводит ни к каким физическим следствиям, подчеркивая лишь “сложную” сущность вектора Пойнтинга.

На основании закона сохранения энергии в виде соотношения (2.27) найдем скорость движения энергии. Для этого выделим в потоке энергии элементарный цилиндр с единичным поперечным сечением, ориентированным перпендикулярно потоку. За единицу времени в объем цилиндра поступит энергия равная модулю вектора Пойнтинга. Поступившая энергия заполнит объем цилиндра на длине пропорциональной скорости движения энергии . Если объемная плотность энергии равна W, то согласно закону сохранения энергии в объеме цилиндра накопится энергия равная поступившей, следовательно

Отсюда скорость движения энергии равна

(2.28^*)