6.6 Дифракция на круглом диэлектрическом цилиндре

На круглый диэлектрический цилиндр, ориентированный вдоль оси z, падает плоская волна в направлении оси x рис.6.9. Плоскость поляризации волны совпадает с плоскость z0x. Запишем падающую волну в виде

(6.42)

где - волновое число свободного пространства.

В цилиндрических координатах x=rcos. Представим падающую волну рядом

В рассматриваемой задачи, помимо рассеянной волны E0, H0, возникает преломленная волна E1, H1 в объеме цилиндра. Она является результатом решения волнового уравнения внутри цилиндра и следовательно описывается функциями Бесселя. Для выполнения граничных условий представим преломленную волну рядом по всем решениям волнового уравнения. Таким образом, напряженности электрического поля в рассеянной и преломленной волне представляются рядами

На поверхности диэлектрического цилиндра касательного составляющие электрического и магнитного поля должны быть непрерывны. Азимутальная составляющая магнитного поля равна

Запишем условие непрерывности на поверхности цилиндра в виде

Подставим сюда соотношения для полей. После элементарных преобразований найдем

Полученные соотношения выполняются при условии равенства членов ряда в левой и правой частях. Запишем эти соотношения в виде системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов am и bm

Отсюда находим коэффициенты

(6.43)

Таким образом дифракционная задача решена полностью: на основании (6.43) можно рассчитать поля рассеянной и преломленной волны по приведенным ранее формулам.

Практический интерес представляет дифракция на проводящем цилиндре волны с вектором E параллельным оси цилиндра. В этом случае диэлектрическую проницаемость цилиндра надо устремить к минус бесконечности. В этом случае из (6.43) сразу следует, что bm=0 (преломленное поле отсутствует), а коэффициенты am, определяющие поле рассеянной волны, как следует из (6.43) равны

Результаты решения дифракционных задач в виде диаграмм и распределения полей можно найти в специальной литературе.

6.7 Дифракция на прямоугольном отверстии в проводящем экране

Рассмотрим дифракцию плоской волны, падающую нормально на металлический экран с прямоугольным отверстием рис.6.10. Вектор поляризации лежит в плоскости падения и совпадает с осью x. Экран расположен в плоскости X0Y, центр отверстия совпадает с началом координат, волна падает на экран снизу в сторону положительных значений z. В теории дифракции в качестве дифракционного поля, обычно рассматривают поле прошедшей волны, что соответствует области z>0. Поле падающей волны запишем в виде

(6.44)

Решение поставленной задачи можно получить на основании приближения Кирхгофа, которое заключается в том, что поле на отверстии считается равным полю в падающей волне. Другими словами, отверстие в экране как бы “вырезает” часть падающей волны. Это допущение справедливо в том случае, если размер отверстия соизмерим с длиной волны или много больше ее. Таким образом, электрическое поле и производная по z от магнитного поля равны нулю на всем экране кроме отверстия, на котором поля в соответствии с (6.44) равны

(6.45)

Таким образом, источникам дифракционного поля, в соответствии с представление Кирхгофа, являются поля на отверстии (6.45). Однако на поверхности, затягивающей отверстие, должны быть выполнены условия непрерывности касательных составляющих магнитного и электрических поле (2.39), (2.42). В рассматриваемом случае дифракционное поле порождается заданным полем на отверстии Es, Hs, что допускает отсутствие поля со стороны падающей волны, это неизбежно приводит к разрыву касательных составляющих E и H на отверстии и, следовательно, к нарушению фундаментального принципа электромагнетизма. Исправить это положение можно допустив существование на поверхности, затягивающей отверстие фиктивных поверхностных электрического и магнитного токов. Тогда в соответствии с (2.41) и системы координат рис.6.10 можно записать, что фиктивный электрический поверхностный ток на отверстии, связан с полем Hs соотношением, следующим из (2.41) при равенстве нулю поля на отверстии, со стороны падающей волны в виде

(6.46)

где n – орт нормали к поверхности отверстия.

По аналогии (6.46) можно допустить, что разрыв касательных составляющих электрического поля равен фиктивному поверхностному магнитному току

(6.47)

К соотношению (6.47) приводит формальная процедура получения граничного условия для касательных составляющих электрического поля, рассмотренная в разделе 2.4, если во второе уравнение Максвелла ввести плотность фиктивного магнитного тока Jm (6.31)

В этом случае разрыв касательных составляющих электрического поля на границе раздела сред равен фиктивному поверхностному току , что в свою очередь приводит к (6.47) при условии отсутствия поля со стороны падающей волны.

Таким образом, источниками дифракционного поля являются фиктивные токи, определяемые соотношениями (6.46) и (6.47). Поле, созданное электрическим током, выражается через векторный потенциал A, который в рассматриваемом случае, может быть вычислен по формуле (6.13) с заменой объемной плотности на поверхностный ток и интегрированием по поверхности отверстия

(6.48)

Магнитный ток, порождает векторный потенциал F, который вводится на основании соотношения , так как в отсутствии электрических зарядов дивергенция равняется нулю. Поэтому по аналогии (6.48) запишем

(6.49)

Электрическое поле дифракционной волны, выражается через векторные потенциалы A и F на основании принципа суперпозиции суммой соотношений (6.14) и

(6.50)

Магнитное поле дифракционной волны, запишем по аналогии с соотношением для E в виде

(6.50*)

Векторные потенциалы (6.50) и (6.50*), определяются соотношениями с (6.46) – (6.49), которые преобразуются к системе координат рис.6.10 к виду

(6.51)

где расстояние между произвольной точкой на отверстии и точкой вычисления потенциалов . Из рис.6.10 следует, что r= где координаты в пределах отверстия, а x,y координаты в точке наблюдения. В сферической системе координат радиус вектор равен . При условии, что точка M находится на большом удалении от отверстия будем считать, что r много больше линейных размеров отверстия . Тогда получим, что

(6.51)

Как и в случае линейной антенны можно считать, что r слабо зависит от координат отверстия, и его можно заменить в знаменателе (6.51) на R, и представить интеграл в (6.51) в виде

(6.52)

Интеграл в (6.52) вычисляется точно, и он равен

(6.53)

Воспользуемся формулами перехода от сферических координат к декартовым

(6.53*)

формулами перехода от декартовой системы координат к сферической, и найдем на основании (6.51) и (6.53) соотношения для векторных потенциалов в сферической системе координат

(6.54)

где

Векторы A и F зависят от радиальной координаты в явном виде как . На большом удалении точки наблюдения от отверстия можно считать, что R стремится к бесконечности. В асимптотическом приближении в этом случае выражения для вычисления полей в (6.50) упрощаются. В сферической системе координат в асимптотике можно считать

где отвечает векторам F и A.

Радиальная зависимость векторов A и F в виде позволяет в асимптотическом приближении оценить производные как

Поэтому соотношения (6.50) для дальней зоны можно преобразовать к виду

(6.55)

Соотношения (6.55) определяют угловую зависимость напряженности электрического и магнитного поля в дифракционной волне в дальней зоне. Обычно ее определяют при R=const в двух сечениях. Одной из них соответствует азимутальному углу =0 (плоскость Z0Y). В этом сечении в соответствии с рис.6.10 можно рассматривать угловую зависимость или в плоскости поляризации вектора E или в E плоскости. Из (6.55) и (6.54) получим угловую зависимость в E плоскости в виде

(6.56)

Угловую зависимость поля в H плоскости, найдем положив в (6.54) и (6.55) =π/2 (плоскость X0Z)

(6.57)

Соотношение (6.56) и (6.57), описывают диаграмму направленности дифракционного поля прямоугольного отверстия. На рис.6.11 представлена диаграмма направленности квадратного отверстия в полярной системе координат. Ширину основного лепестка по первым нулям, можно определить из (6.56), положив .

В случае много меньше единицы, ширину диаграммы можно оценить как