6.4 Излучение магнитного диполя
Простым примером магнитного дипольного излучателя, является рамка с током, размеры которой малы по сравнению с длиной волны рис.6.7. Если в рамке течет синусоидальный ток с амплитудой Im, то она эквивалентна магнитному диполю, момент которого перпендикулярен плоскости рамке и равен
(6.29)
Поле диполя можно вычислить по процедуре анализа электрического диполя: найти векторный потенциал тока рамки, а затем электромагнитное поле. Однако, решение можно упростить, введя фиктивные магнитные заряды. В этом случае, уравнениям Максвелла можно придать формальный характер, учитывающий магнитные заряды. При наличии переменных магнитных зарядов, дивергенцию магнитного поля, по аналогии с дивергенцией электрического поля следует считать пропорциональной объемной плотности магнитных зарядов
(6.30)
Продолжая формальную аналогию с электрическими зарядами, надо ввести в уравнение Максвелла (2.11.б) магнитный ток Jm и записать уравнение в виде
(6.31)
Магнитный ток должен удовлетворять уравнению непрерывности в виде, аналогичному для электрического тока
(6.31*)
Очевидно, что уравнение (6.31) удовлетворяет соотношениям (6.30) и (6.31*). Сравним уравнения Максвелла для полей порожденных динамическими электрическими и магнитными зарядами
Как видно, напряженностям электрического и магнитного поля, созданного магнитным током, соответствуют напряженности магнитного и электрического поля, созданного электрическим током, при формальной замене
Поэтому
для нахождения поля магнитного диполя
надо сделать соответствующие замены в
формулах для поля электрического диполя
(6.16), учтя, что амплитуда электрического
дипольного момента
, заменяется на амплитуду магнитного
дипольного момента (6.29). В результате
этих действий, получим поле, излученное
магнитным диполем в виде
(6.32)
Из (6.32) выделим поле излучения
Таким образом, в дальней зоне поле магнитного диполя отличается от поля электрического диполя только пространственной ориентацией. Максимум излучения магнитного диполя лежит в экваториальной плоскости.
6.5 Дифракция плоской волны на круглом проводящем цилиндре
При падении электромагнитной волны на отражающее или поглощающее препятствие, возникают волновые явления, изучение которых относится к задачам дифракции. Дифракционные волновые поля зависят от геометрической формы вида препятствий и их размеров. Поэтому, расчет дифракционных полей не может иметь универсального характера. В инженерной практике рассматриваются конкретные дифракционные задачи, связанные с падением плоской электромагнитной волны на определенный вид препятствий.
В этом разделе мы рассмотрим дифракцию на круглом проводящем цилиндре, что является типичным примером дифракционной задачи. Пусть на идеально проводящий цилиндр радиуса R ось которого совпадает с осью z падает плоская волна, вектор напряженности магнитного поля которой совпадает с осью z рис.6.8. Плоская волна, распространяется вдоль оси x, поэтому напряженности поля в волне есть
Из физических соображений ясно, что рассеянное (отраженное) поле будет иметь вид цилиндрической волны с единственной составляющей магнитного поля, направленной вдоль оси z
Азимутальную составляющую напряженности электрического поля найдем из уравнения Максвелла в виде
(6.33)
Магнитное поле рассеянной волны H0 подчиняется волновому уравнению в цилиндрических координатах. Его решение выберем в виде
(6.34)
где
функция Ханкеля второго рода,
экспоненциальный множитель определяет
угловую зависимость поля.
Чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности цилиндра, результирующее магнитное поле в рассеянной волне, надо представить рядом по всем возможным решениям (6.34). При этом амплитуда результирующего поля должна быть пропорциональна амплитуде падающего поля, поэтому
(6.35)
где am – коэффициенты ряда, определяются из граничного условия на поверхности цилиндра.
Азимутальная составляющая электрического поля в рассеянной волне, согласно (6.33) и (6.35) может быть записана в виде
(6.36)
Для того чтобы согласовать запись полей в декартовых и цилиндрических координатах, представим поле падающей волны рядом по Бесселевым функциям, известным из теории бесселевых функций. В цилиндрических координатах x=cosRF, рис.6.8, поэтому
На поверхности цилиндра поле падающей волны, создаст электрическое поле, которое следует из (6.33). Таким образом при R=a имеем
(6.37),
где
Граничное условие на поверхности бесконечно проводящего цилиндра, требует обнуления касательной составляющей электрического поля. Результирующее касательное поле, определяется суммой азимутальных составляющих падающей волны и рассеянной
Поэтому
Подставим сюда соотношения (6.37) и (6.36), после очевидных преобразований получим
Обращение в ноль ряда возможно только при условии равенства нулю каждого его члена, поэтому
Отсюда следует, что коэффициенты am определяются как
(6.38)
Формально, с получением соотношения (6.38) задача решена, так как дифракционное поле определено соотношениями (6.35) и (6.37). Однако интерес представляет рассеянного поля на большом удалении от цилиндра. Для этого случая много больше единицы, и можно воспользоваться асимптотикой функций Ханкеля
Поэтому в соответствии с (6.35), рассеянное поле на большом удалении можно представить в виде
Угловое распределение рассеянной мощности найдем из среднего значения вектора Пойнтинга которое равно
Подставим сюда Hz и получим
(6.39)
Соотношение (6.39) можно преобразовать к относительно простому виду для длинноволнового приближения, если положить много меньше единицы. В этом случае можно ограничится вкладом в Sср тремя членами ряда m=0 n=1. Коэффициенты ряда a1 и равны по модулю, поэтому соотношение (6.39) можно преобразовать к виду
(6.40)
Соотношение для a0 и a1 следует из (6.38), поэтому угловую зависимость вектора Пойнтинга из (6.40) представим в виде
(6.41)
В длинноволновом приближении аргумент Бесселевых функций малы, что дает возможность считать
На этом основании преобразуем (6.41) к соотношению
Таким образом, рассеяние плоской волны проводящим цилиндром происходит преимущественно в секторе π/3 в сторону отражения волны (=π). В направления падения волны (=0), возникает малый максимум, приблизительно равный примерно 10-1 от основного дифракционного максимума.