6.3 Поле в дальней зоне линейной антенны
Вычислим поле, создаваемое в дальней зоне линейной антенной, длина которой соизмерима с длиной волны излучения. Для такой антенны интеграл, определяющий векторный потенциал A (6.19) для простого распределения тока может быть вычислен прямым интегрированием. Упрощение состоит только в том, что поперечное сечение провода, считается малым, и омических потерь нет.
Рассмотрим линейную антенну длиной L с узким зазором в центре, к которому подключен источник колебаний. Поместим антенну вдоль оси z, а зазор в начало сферической системы координат рис.6.4. В дальней зоне r>>L как и для диполя Герца направление излучения от каждого элемента тока dz на длине антенны можно считать параллельным радиусу вектору сферической системы координат . Поэтому разность хода лучей в точке наблюдения от элемента dz и началом координат рис.6.4 равна . Очевидно, что максимальная разность фаз в точке наблюдения будет близка к и при длине провода L= она может быть значительной. Поэтому в соотношение (6.19) функцию
представим в виде. В дальней зоне значение r слабо зависит от координат провода, поэтому положим r=R и векторный потенциал линейной антенны в дальней зоне представим в виде
(6.21)
где
Im – ток в антенне,
распределение тока в антенне.
Зададим распределение тока в виде синусоидальной функции, которую можно считать близкой к реальному распределению
(6.22)
Очевидно, что в соответствии с (6.22) ток обращается в ноль на концах провода при z=L/2, и максимален в центре провода при z=0. Подставим (6.22) в (6.21) получим соотношение для вычисления электродинамического потенциала
(6.23)
Интеграл в (6.23) вычисляется точно, поэтому
(6.24)
Магнитное поле в дальней зоне можно легко получить из (6.17), заменив длину диполя L на результаты интегрирования распределения тока по длине антенны (6.24). Найдем
Компоненты
поле
в дальней зоне связаны соотношением
как и в плоской волне, поэтому
Следовательно, поток вектора Пойнтинга равен
(6.25)
Как видно угловое распределение мощности в пространстве зависит от длины антенны. Наиболее важен случай антенны, длина которой равна половине длине волны излучения, такая антенна называется полуволновым вибратором. Подставим L=/2 в (6.25) и найдем модуль вектора Пойнтинга
(6.26)
На рис.6.5 приведена диаграмма направленности для полуволнового вибратора в полярной системе координат в мериадианальной плоскости. Там же приведена диаграмма направленности диполя Герца. Как видно, отличие диаграмм направленности невелико.
Найдем вектор Пойнтинга в полноволновой антенне, положив в (6.25) L=
(6.27)
Угловое распределение излучения полуволнового и полноволнового вибраторов представлены на рис.6.6.
Полную мощность, излученную полуволновой и полноволновой антенной, найдем проинтегрировав (6.26) и (6.27) по сфере радиуса r
(6.28)
Интегралы в (6.28) хорошо известны, их значения можно найти в учебниках по теории антенн. Придадим соотношению (6.28) форму закона Джоуля – Ленца, и приведем значение сопротивлений излучения:
для полуволнового вибратора R=73.2 Ом, для полноволнового R=201 Ом. Таким образом, при данной амплитуде тока Im, полноволновая антенна излучает мощность примерно в три раза большую, чем полуволновая.