5.8 Добротность резонаторов

В предшествующем разделе, рассмотрены собственные электромагнитные поля резонаторов в приближении идеально проводящих стенок. В этом случае поля в резонаторе могут возникнуть только строго на определенной частоте, называемой резонансной или собственной частотой. В реальности поле в резонаторе возникает и существует в пределах конечной полосы частот. Переход от теоретически возможного существования колебания на одной частоте к конечной полосе частот в окрестности резонансной частоты, вызван потерями энергии в объеме резонатора. Поэтому учет потерь в резонаторах является принципиально необходимым элементом анализа объемных резонаторов. Это позволяет избежать нарушения закона сохранения энергии и с другой стороны найти частотно избирательную характеристику резонатора. Как известно, параметром определяющим частотно избирательную характеристику, является добротность резонатора. Для собственного резонанса она определяется как отношение средней энергии запасенной в резонаторе к энергии теряемой за период колебания

(5.67)

где W – запасенная энергия ₀ – резонансная частота, P – мощность потерь.

В объемных резонаторах для собственного колебания, единственной причиной затухания, являются омические потери в стенках резонатора. Согласно закона сохранения энергии мощность потерь определяется скоростью уменьшения запасенной энергии

Объединяя оба соотношения найдем, что

Решением этого уравнения является экспоненциальный спад накопленной энергии

Спад накопленной энергии однозначно связан с затуханием колебаний на частотах в окрестности резонансной частоты. Частотный спектр этих колебаний, как известно непрерывен и бесконечен. Обозначим его как . Напряженности поля затухают с двое меньшей скоростью чем энергия. Запишем зависимость от времени напряженности поля на резонансной частоте ₀ в явном виде

Согласно гармоническому анализу спектральная плотность связана с временной зависимостью прямым преобразованием Фурье

Подставим в это соотношение получим

Интеграл в вычисляется точно. Опустим подробности преобразований и после интегрирования найдем квадрат модуля в близи резонансной частоты: - где

(5.68)

Полученной соотношение определяет зависимость энергии колебаний от частоты в окрестности Как следует из (5.68), резонансные свойства объемных резонаторов точно подчиняются теории колебательных контуров. Спад энергии колебаний в два раза соответствует частотной расстройке . Таким образом, собственная добротность объемных резонаторов равна

Рассмотрим расчет добротности круглого цилиндрического резонатора с TE типом колебания. Для этого рассчитаем среднюю накопленную энергию и мощность поглощаемую в стенках резонатора на глубине скин- слоя. Плотность энергии поля на резонансной частоте равна удвоенной энергии магнитного или электрического поля. Поэтому в соответствии с (2.22) считаем, что

(5.69)

Вектор напряженности поля TE колебания сохраним в форме (5.4)

Для произвольного цилиндрического резонатора явные зависимости компонент поля определяются соотношениями (5.60). Поэтому квадрат вектора H в (5.69) равен

(5.70)

Полную энергию найдем как интеграл по объему резонатора от плотности (5.69) учтя (5.70)

Используя (5.22^*) полученное соотношение преобразуем к виду

(5.71)

Мощность потерь найдем как сумму

где мощность потерь в стенке резонатора, мощность потерь в металлических торцах.

Мощность потерь в стенке резонатора найдем прямым интегрированием (5.26^*) по длине резонатора. Для этого представим магнитное поле касательное к стенке в (5.26^*) как

где n – орт нормали к стенке резонатора: для круглого резонатора .

Представление поля H в виде (5.4) и (5.60) приводит H_t к виду

(5.72)

После подстановки (5.72) в (5.26^*) и интегрирования найдем мощность потерь в стенке резонатора в виде

(5.73)

Векторное произведение в (5.73) должно быть вычислено на контуре поперечного сечения резонатора. В случае круглого резонатора оно вычисляется при r=a.

Мощность потерь в торцах резонатора определяется как интеграл по поперечному сечению от вещественной части компоненты комплексного вектора Пойнтинга, направленной по нормали к поверхности торца, то есть вдоль оси z. Поэтому на основании (3.24) найдем

Подставив в это соотношение (5.60) после преобразований известных из раздела 5.2, получим мощность потерь в торце равной

(5.74)

В результате полную мощность потерь найдем суммированием (5.73) и (5.74)

(5.75)

Подставим (5.71) и (5.75) в соотношение (5.67) и после преобразований найдем формулу для вычисления цилиндрического резонатора с TE типом колебания.

где V – объем резонатора занятого током на глубине скин- слоя.

Параметр зависит только от формы и поперечного сечения резонатора. Поэтому добротности резонатора можно дать простую физическую интерпретацию: добротность пропорциональна отношению объема резонатора к объему занятому током в стенках.

Вычисление добротности для TM колебания можно выполнить аналогичным образом. Соотношение для расчета добротности получается менее сложным чем для TE колебаний. Так для колебания TM₀₁₀ типа в круглом цилиндрическом резонаторе параметр равен и

Значения собственной добротности резонаторов лежат в диапазоне от нескольких сотен до нескольких тысяч.