5.4. Волны tm в прямоугольном волноводе

Анализ TM волн прямоугольного волновода во многом повторяет анализ TE волн. Поэтому опустим подробности решения уравнения (5.7.а) и запишем его результат в виде

(5.41)

Где m=1,2…; n=1,2…;

Продольная составляющая электрического поля равна нулю на всех стенках волновода. В соотношении (5.41) m и n не могут быть равными нулю, и их минимальные значения равны единице. Таким образом, дискретные ряды значений m и n попарно определяют собственные волны электрического типа, обозначаемые как E_mn или TE_mn. Очевидно низший тип волны (основной тип) соответствует m=n=1. Он обозначается E₁₁ или TE₁₁.

Из (5.11) и (5.34) найдем значения граничных частот волн электрического типа

и критические длины волн

Как видно, критические параметры волн электрического и магнитного типов совпадают. Для волны основного типа E₁₁ критическая длина волны максимальна и равна

На основании соотношений (5.17) и (5.41) найдем соотношения для компонент собственных полей E типа на поперечном сечении волновода

На рис. 5.8. приведены примеры строения полей E типа.

Найдем соотношение для мощности, переносимой волной основного типа, подставив (5.23.б) в соотношение (5.41) при m=n=1

В результате интегрирования имеем

В связи с тем, что критическая длина волны H₁₀ больше критической волны E₁₁ в инженерной практике используют одномодовый режим прямоугольного волновода с H₁₀ волной. По этой причине мы не исследуем затухание волны E₁₁. Однако заметим, что для TM волн, минимум затухания соответствует частое не зависимо от размеров поперечного сечения. На рис.5.7 представлен график соответствующей зависимости.

5.5. Волны tm в круглом волноводе

На рис.5.9 представлено поперечное сечение круглого волновода в полярной системе координат. Найдем решение уравнения (5.7.а) в полярных координатах методом разделения переменных, рассмотренном в разделе 5.2. Запишем (5.7) в полярной системе

(5.42)

Положим что функции координат . Подставим в (5.42) и после преобразований найдем

Перепишем это уравнение в эквивалентной форме

(5.43)

Левая часть соотношения (5.43) представляет собой произвольную функции координаты , а правая часть функции координаты . Они могут быть равны только в том случае, если каждая из них равна произвольному числу. Из раздела 5.2 следует, что это число является постоянной разделения уравнения (5.43) на два независимых уравнения для функций R и Ф . Обозначим ее и представим (5.43) в виде

(5.44)

Выбор положительного знака перед n² связан с необходимостью обеспечения угловой периодичности распределения поля. Соотношение (5.44) приводит к двум уравнениям

(5.45.а)

(5.45.б)

Решение уравнения (5.45.а) хорошо известно

В этом соотношении можно выбрать одно из слагаемых, которое определит пространственное положение максимума угловой зависимости поля на поперечном сечении. Допустим, что максимум соответствует углу φ=0 и тогда A=0

Угловая периодичность требует чтобы при значения φ кратных двум пи значение поля было одинаково. Это приводит к тому, что n может быть произвольным числом или нулем: n=0,1,2.. .

Решением уравнения (5.45.б), удовлетворяющим конечности при r=0, (смотри приложение) являются функции Бесселя первого рода n – го порядка. Поэтому

Следовательно, полное решение уравнения (5.42) есть

(5.46)

В силу граничного условия E_z должно обращаться в ноль на внутренней поверхности волновода то есть

Что приводит к уравнению относительно собственного значения

(5.47)

Уравнение (5.47) имеет бесконечное множество корней. Как и в случае прямоугольного волновода тип поля в круглом волноводе, характеризуется двумя числами: порядковым номером корня m и порядком функции Бесселя n. Обозначим через m – тый корень функции Бесселя

Ниже приведены значения первых трех корней для трех функций Бесселя

	1	2	3
0	2.	5.52	8.6S
1	3.83	7.01	10H
2	5.13	8.Y1	11.62

Значения критической длины волны для E_nm типа элементарно вычисляются с помощью приведенных корней функций Бесселя

Как видно, основная волна электрического типа E₀₁ имеет максимальное значение длины волны 2.612a. Поперечные составляющие волн E_nm типа на поперечном сечении, определяются соотношениями (5.17) в полярной системе координат

(5.48)

Где

Основной тип волны электрического типа имеет простейшую пространственную структуру. Положим n=0, m=1 и из (5.48), найдем составляющие поля волны E₀₁

(5.49)

где

Строение поля E₀₁ показано на рис.5.10.

Найдем затухание волны E₀₁ вызванное омическими потерям (5.26)

Сначала получим явное соотношение для мощности переносимой волной E₀₁. Подставим в (5.43) соотношение (5.49.а)

В результате интегрирования найдем, что

(5.50)

Интеграл по контуру поперечного сечения в (5.26) для рассматриваемого сечения равен

(5.51)

На основании (5.26), (5.50) и (5.51), найдем затухание волны E₀₁ в виде

(5.52)

Из (5.52) можно найти явную форму частотной зависимости, введя параметр

Из полученной формулы следует, что при , а с ростом частоты больше единицы и , таким образом у коэффициента затухания нет частотного минимума. На рис.5.11, представлен частотный ход затухания.