Вывод соотношения (5.6)

Используя явную зависимость полей от z представим вектор набла в виде

Заменим в уравнениях Максвелла на векторные произведения . Используем представления векторов поля в виде (5.4) и запишем уравнения Максвелла в эквивалентной форме

Умножим оба уравнения векторно на E_z и после элементарных преобразований найдем

(5.13)

Двойные векторные произведения в (5.13) могут быть преобразованы. В первом уравнении (5.13) к виду

(5.14)

К аналогичным соотношениям преобразуются векторные произведения во втором уравнении (5.13). После подстановки соотношений (5.14) в уравнения (5.13) найдем

(5.15)

Уравнения (5.15) представляют собой систему относительно двух неизвестных E и H, решениями которой, является соотношение (5.6).

(5.13)

Умножим обе части векторно на орт ez и после очевидных преобразований получим

(5.14)

Аналогичным образом преобразуем второе уравнение Максвелла (3.8.б) к виду

(5.15)

Соотношения (5.14) и (5.15) можно считать системой уравнений решениями которой является соотношение (5.6).

5.2 Поток мощности и затухание в волноводах

Найдем поток мощности переносимый TE и TM волнами в волноводах. Представление полей как суммы векторов поля на поперечном сечении и вдоль направления распространения в форме (5.4) и (5.5) привело к соотношению (5.6). Поэтому для TE и TM полей следует, что для

TE волн

(5.16)

для TM волн

(5.17)

Среднее значение плотности потока мощности, переносимой электромагнитной волной, определяется как реальная часть комплексного вектора Пойнтинга (раздел 3.2).

(5.18)

Найдем комплексный вектор Пойнтинга для TE волн, а затем по аналогии, запишем вектор Пойнтинга для TM волн. Подставим в (5.16) в (5.18), получим

Раскрыв двойное векторное произведение, полагая, что скалярное произведение равно нулю, найдем соотношение для в виде

(5.19)

Для TM волн по аналогии с (5.19) запишем

(5.20)

В полученных соотношениях векторы Пойнтинга вещественны, так как они определяются квадратами модулей градиентов продольных составляющих полей. Поэтому для вычисления полного потока мощности П через поперечное сечение волновода, проинтегрируем S по поперечному сечению

Подставив в данное соотношение (5.19) найдем

(5.21)

Воспользуемся двумерной формулой Грина

(5.22)

где S поперечное сечение волновода, а L – контур поперечного сечения.

Положим . Для волноводов с идеально проводящими стенками, интеграл в (5.22) равен нулю в силу граничного условия (5.9). Воспользуемся тем, что из уравнения (5.7) следует

И подставим это соотношение в (5.22). После очевидных преобразований, Формула Грина (5.22) приводит к равенству

(5.22*)

Аналогично для волн TM типа найдем

Таким образом, мощность, передаваемая по волноводу равна

(5.23.а)

(5.23.б)

Предшествующий анализ волн в волноводах, был построен на том предположении, что стенки волновода идеально проводящие. В реальности стенки обладают конечной проводимостью, что необходимо учитывать в практических целях. Конечная проводимость приводит к тому, что на стенках волновода возникает касательная составляющая электрического поля, которая вызывает электрический ток на глубине скин слоя (3.25). Поэтому, при учете конечной проводимости стенок в волноводе возникают омические потери, которые приводят к затуханию волны при ее распространении. Затухание оценивается коэффициентом, который равен мнимой части (раздел 3.5). В реальных случаях затухание не велико, что позволяет не учитывать его влияние на распределение поля на поперечном сечении волновода. Следовательно, затухание не влияет на распределение поля на поперечном сечении волновода, и определяет только спад амплитуды поля или мощности вдоль волновода. Запишем спад потока мощности в виде соотношения

Отсюда коэффициент затухания равен

(5.24)

В этом соотношении производная определяет уменьшение мощности за счет потерь на единицу длины волновода. Значение переносимой мощности определяется соотношениями (5.23). Мощность потерь в стенках волновода можно вычислить как интеграл по площади стенок от вещественной части поперечной составляющей комплексного вектора Пойнтинга. Касательную составляющую на стенках можно считать равной касательной поля на идеальной металлической стенке. Поэтому, комплексный вектор Пойнтинга направленный по нормали к стенке есть

где магнитное поле на стенке волновода при связано соотношением (3.24).

Реальная часть S равна

(5.25)

где орт нормали к поверхности стенки волновода.

Представим производную в (5.24) в виде предела отношения малых приращений

где уменьшение переносимой мощности за счет омических потерь на длине

Величину можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по поверхности стенки волновода на длине . Элемент интегрирования равен ds=Δz-dl где dl элемент контура поперечного сечения волновода. Следовательно, на контуре поперечного сечения

Таким образом

(5.26*)

И коэффициент затухания электромагнитной волны, вызванный омическими потерями в стенках волновода, определяется соотношением

(5.26)

где P – мощность, переносимая по волноводу (5.23).

5.3. Волны TE типа в прямоугольном волноводе

Исследуем собственные волны TE типа в прямоугольном волноводе, поперечное сечение которого, изображено на рис.5.3. Для этого найдем решение скалярного двумерного волнового уравнения (5.7.б). Представим (5.7.б) в виде

(5.27)

Будем искать решение уравнения (5.27) методом разделения переменных, считая, что

(5.28)

X(x) – функция зависящая только от x, Y(y) – функция зависящая только от y. Подставим (5.28) в (5.27), получим

Разделим обе части полученного соотношения XY . Найдем

Левая часть полученного уравнения представляет собой сумму независимых функций разных координат. Правая часть уравнения, является числом. Равенство между ними, может быть только в том случае, если каждая функция в левой части равна произвольному числу. Следовательно, должно выполняться, что

(5.28)

где называют постоянными разделения

Выбор знаков произвольных чисел был обоснован в предыдущем разделе, а выбор квадратов чисел, делается для удобства последующих действий. Таким образом, из (5.28), следует вывод о разделении уравнения (5.27) на пару уравнений, каждое из которых зависит только от одной координаты. В этом есть суть методы разделения переменных. Представим эти уравнения в виде

Решения полученных уравнений хорошо известны

(5.29)

где A, B, C, D произвольные постоянные.

Наложим граничные условия на . В соответствии с рис.5.3, они могут быть представлены в виде

(5.30)

Очевидно, что соотношения (5.30) должны быть выполнены для функций X и Y, которые определены через (5.29). Поэтому находим, что

Из граничных условий на левой боковой стенки x=0 и на нижней y=0 из (5.29) следует, что

Откуда B=0, D=0 и решения (5.29) волнового уравнения принимают вид (5.31).

Граничные условия на правой боковой стенки x=a и y=b, приводят к определению постоянных разделения на основании (5.31) из соотношений

(5.32)

откуда , где m=0.1 где n=0.1 . Таким образом, решением волнового уравнения (5.27) для Hz произведение XY при дискретных значения определяемых соотношением (5.32). За исключением равенства нулю

(5.33)

С учетом (5.28), имеем

(5.34)

Как видно произвольные целочисленные значения m и n, попарно образуют дискретный спектр собственного числа каждому из которых, соответствует свой тип волны (или мода волны). Таким образом, в волноводе при определенных размерах, может существовать любой из собственных типов волн, определяемый набором пар значений m и n, которые в свою очередь равны числу полуволн косинусов в распределении Hz вдоль узкой и широкой стенках волновода. Собственный тип волны, соответствующий минимальному значению называется основным типом (основной модой), все основные типы называются высшими. Значения граничных частот, очевидно, относится к каждому собственному типу поля. Из (5.11) и (5.34), найдем значения граничных частот собственных типов полей

При условии, что a>b, низшая граничная частота соответствует минимальному значению при m=1 и n=0. В классификации собственных типов волн, это основной тип TE волн в волноводе. Он обозначается TE₁₀ или H₁₀. Иные типы относятся к высшим типам волн, и обозначаются TE_mn, или H_mn. Таким образом, для H₁₀ волны, граничная частота равна

Для частот в волноводе может распространяться основной тип волны H₁₀. Выбор значений рабочей частоты между и граничной частотой первого высшего типа, обеспечивает одномодовый режим волновода. Для волновода с типичными размерами поперечного сечения a=2b, отношение для типов волн с нарастающими значениями n и m приведены в таблице.

m
0	n=0	n=1	n=2	n=3
1	1.0	2.0	4.0	6.0
2	2.0	2.24	4.13
3	3.0	3.61	5.0

Как видно из таблице, в частотном интервале

В волноводе может распространяться только основной тип волны H₁₀.

В инженерной практике широко используется понятие критической длины волны, значение которой следует из (5.11) и (5.34)

Для H₁₀ критическая длина волны равна и ее значение максимально среди всех возможных значений критических длин волн высших типов. Поэтому, основной тип волны может существовать при относительно малых значениях размерах волновода на заданной рабочей частоте.

На основании (5.33) и (5.16), найдем выражения для полей H типа на поперечном сечении волновода

(5.34)

Запишем выражение для поля H₁₀ типа, положив в (5.34) m=1, n=0 ,

(5.35)

Наличие множителя j в означает, что эти компоненты сдвинуты во времени на по отношению к Hz. Основной тип поля не зависит от координаты y, то есть поле остается постоянным по высоте волновода.

Явные выражения (5.34) для электромагнитных полей могут быть положены в основу графического представления структуры поля в волноводе. Идея построения состоит в том, что силовые линии поля, изображаются линиями, касательные к которым в каждой точке, задают направление поля, а “густота” силовых линий пропорциональна значению поля. На рис.5.4 на основании этого правила изображено распределение поля H₁₀ на поперечном сечении и воль оси волновода. Поле постоянно по y, поэтому силовые линии электрического поля, представляют собой линии совпадающие с нормалями к верхней и нижней стенкам. Максимум электрического поля находится в сечении x=a/2, что подчеркнуто на рисунке большей “густотой” силовых линий. Силовые линии магнитного поля замкнуты в кольца, охватывающие линии электрического поля. На длине волновода равной половине длины волны в волноводе направление силовых линий, изменяется на противоположное. На рис.5.5 приведены распределения полей для некоторых высших типов полей.

Найдем явное выражение для переносимой мощности волной основного типа. Для этого воспользуемся соотношениями (5.23.а) и (5.35) и получим

Откуда следует соотношение для расчета мощности переносимой волной

(5.36)

Иногда удобнее представить мощность через амплитуду электрического поля, потому, что в структуре H₁₀ есть только одна составляющая напряженности электрического поля E_y. В соотношении (5.35) обозначим амплитуду электрического поля через Em и найдем, что

Откуда

Подставим Hm в (5.36) и получим формулу для расчета мощности через амплитуду напряженности электрического поля

(5.37*)

Найдем постоянную затухания волны H₁₀, вызванную омическими потерями волны в стенках волновода. Для этого вычисли интеграл по контуру поперечного сечения в формуле (5.26), который для волны H₁₀ можно записать в виде

(5.37)

Оба интеграла в правой части (5.37) удваиваются, так как поля на вертикальных и горизонтальных стенках одинаковы. На вертикальных стенках равна амплитуде поля Hm. Амплитуда магнитного поля на широких стенках волновода в соответствии с (5.35) равна

Поэтому после интегрирования в (5.37) получим

(5.38)

Коэффициент затухания волны H₁₀, вызванный омическими потерями (5.26) на основании (5.36) и (5.38), после несложный преобразований, получим в виде

(5.39)

Найдем зависимость коэффициента затухания для частоты в явном виде из соотношения (5.39). Введем обозначение Воспользуемся тем, что для волны H₁₀ и следовательно . Учтем частотную зависимость глубины скин- слоя (3.25) и представим ее в виде

где - глубина скин-слоя на граничной частоте.

После преобразования из (5.39), найдем частотную зависимость коэффициента затухания в виде

(5.40)

Где

Из (5.40) следуют очевидные выводы. При из-за обращения мощности в ноль на граничной частоте. При коэффициент затухания растет примерно пропорционально . Это в свою очередь означает, что в частотном ходе проходит через слабо выраженный минимум. Значение частоты, соответствующей минимуму коэффициента затухания, найдем из (5.40) из условия равенства нулю производной .

Выполнив необходимые преобразования, найдем, что соответствующие значения удовлетворяют уравнению. Это уравнение элементарно решается и его корень определяет значение соответствующее минимуму затухания. Но можно сделать и общую оценку корня. Параметр для типичных случаев имеет порядок единицы. Поэтому ориентировочное значение частоты можно найти из соотношения

Отсюда ясно, что частота минимума потерь составляет несколько f_гр. На частоте 10ГГц, затухание в медном волноводе при а=2в, составляет 2*10E-2дБ/м. Иначе говоря, мощность волны в волноводе затухает приблизительно в два раза на длине сто метров. Точные значения затухания для волноводов стандартных сечений приведены во многих справочниках. На рис.5.7 приведен график частотной зависимости затухания волны H₁₀.