4.3. Распространение электромагнитных волн в поперечно-намагниченном феррите

Рассмотрим распространение электромагнитных волн для случая намагничивания перпендикулярного к направлению распространения электромагнитных волн. В теории поля это получило название поперечно-намагниченного феррита. Сохраним направление намагничивания вдоль оси z, а направление распространения волны направим по оси x. Гиротропные свойства феррита проявятся только при ориентации E вдоль оси z. Легко убедиться, что для волн с вектором H равном поперечно намагниченный феррит подобен изотропной среде. На рис.4.4 представлено взаимное расположение осей координат намагничивания и распространения волны. В соответствии с ри.4.4 в плоскости x= const , а вектор напряженности магнитного поля задан в виде . Поэтому лапласиан волнового уравнения (4.11) равен

Таким образом, для поперечно-намагниченного феррита волновое уравнение сохраняет вид (4.12)

(4.22)

Представим (4.22) в проекциях на оси

5. Электромагнитные волны в направляющих структурах

5.1 Общие свойства электромагнитных волн в направляющих структурах

До сих пор, мы изучали электромагнитные волны в неограниченных средах. В инженерной практике стоят задачи канализации электромагнитной энергии, которые решаются с помощью полых металлических труб, прямоугольного, круглого, или иных форм поперечного сечения. Если труба имеет торцы, то она называется объемным резонатором, в противном случае – волноводом. Помимо полых металлических труб, используются диэлектрические стрежни тех же форм поперечного сечения рис.5.1. Ясно, что анализ этих принципиально разных канализирующих систем должен быть построен на разных методах, однако их объединяет общая характеристика – через объем металлических труб и вдоль диэлектрических стержней электромагнитная энергия передается от источника к приемнику не создавая помех в окружающим пространстве. Полые трубы и стержни разного поперечного сечения, вписываются в обобщенную цилиндрическую систему координат, которая определяется координатами поперечного сечения и осью z совпадающей с осью волновода или стержня. Разумеется, что прямоугольное поперечное сечение, вписывается в прямоугольную декартовую систему, для сечения круглой формы естественна полярная система координат. Поверхность волноводов совпадает либо с координатными поверхностями координат либо с поверхностью цилиндров для круглых труб. Очевидно, что в цилиндрической системе координат можно рассматривать только бесконечные структуры с неизменной формой и размерами поперечного сечения. Такие направляющие структуры называются регулярными.

Анализ электромагнитных волн в безграничных средах, дает основание для предположения об общих характеристиках волн в волноводах. Основной вывод состоит в том, что электромагнитной поле в бесконечном пространстве существует в виде однородных плоских волн. Поэтому, можно допустить, что в волноводах благодаря цилиндрической симметрии могут существовать плоские волны. Но очевидно, что распределение поля на поперечном сечении определяется его видом. Поэтому волны в волноводах могут быть только неоднородными. Вид волновода будет определять постоянную распространения волны, и, следовательно, частотную дисперсию. Поэтому электромагнитное поле в волноводе произвольного вида представим в виде неоднородной плоской волны с постоянной распространения

(5.1)

где координаты поперечного сечения: x, y для прямоугольного сечения для круглого цилиндра.

Лапласиан в волновых уравнениях (3.8) в обобщенной цилиндрической системе координат при явной зависимости от z в форме (5.1) можно представить в виде

(5.2)

где лапласиан от поперечных координат.

На основании (5.1) и (5.2) представим волновые уравнения в виде

(5.3)

В соотношениях (5.3) поперечная постоянная распространения. В общем случае векторы могут иметь три составляющие: две на поперечном сечении и одну продольную, вдоль оси распространения. Поэтому в волноводах всегда можно представить в виде

(5.4)

где векторы на поперечном сечении волновода. На основании правил векторной алгебры имеем

(5.5)

Аналогичные соотношения можно записать для . Уравнения (5.3) справедливы для каждой составляющей напряженности электрического и магнитного поля. Поэтому, формально, в общем случае, система (5.3) эквивалентна шести уравнениям. Однако, с помощью уравнений Максвелла можно выразить поперечные составляющие полей через продольные. В конце этого раздела получены соотношения в виде

(5.6)

где градиент по поперечным координатам.

Соотношение (5.6) определяет связь между поперечными и продольными компонентами полей. Поэтому, для определения поля в волноводе надо решить двумерные скалярные уравнения (5.3)

(5.7.а)

(5.7.б)

Уравнения (5.7) должны быть дополнены для E_z и H_z. В разделе 2.4 было показано, что касательные составляющие электрического поля на идеально проводящей поверхности равны нулю. Поэтому решение уравнения (5.7.а) должно удовлетворять условию

E_z=0 на стенках волновода.

Граничные условия для H_z на стенках волновода можно получить из (5.6.б). Умножим обе части уравнения (5.6.б) скалярно на орт нормали к стенкам прямоугольного волновода (или к поверхности круглого цилиндрического волновода). В левой части уравнения (5.6.б) скалярное произведение равно нормальной составляющей магнитного поля к стенкам волновода (или к поверхности цилиндра). Нормальные компоненты магнитного поля на проводящих стенках равны нулю (раздел 2.4). Поэтому на стенках волновода. В правой части (5.6.б) E_z=0. Поэтому скалярное произведение правой части (5.6.б) на обнуляется при условии, что равно нулю на стенках волновода. В свою очередь на основании определения градиента

Поэтому на стенках волновода производная по нормали от H_z=0

(5.8)

Поясним (5.8) на примере прямоугольного волновода. Представим

Скалярные произведения

представляют собой производные по нормалям к широкой и узкой стенкам.

Соотношение (5.8) в общем случае утверждает, что производная по нормали от касательной составляющей магнитного поля на магнитной поверхности равна нулю, т.е.

на металле. (5.9)

Из соотношений (5.6) следует важный вывод: граничным условиям для Ez и Hz невозможно удовлетворить одновременно, так как в противном случае, поле обнуляется. Поэтому поля в металлических волноводах разделяются на два вида:

поперечно электрические TE поля или магнитные H – поля, у которых Hz=0.

Поперечно магнитные поля TM поля или электрические E – поля, у которых Ez=0.

Первая буква в аббревиатуре TE, TM от сова transversal (поперечная).

Уравнения (5.7) вместе с граничными условиями, представляют собой задачу на собственные значения. Действительно, уравнения (5.7) можно представить в виде,

Отсюда следует, что действие оператора на Ez и Hz не меняет их направление в пространстве, а только изменяет длину пропорционально . Это является определением собственного вектора и собственного значения оператора. Поэтому поля в волноводе без учета способа их возбуждения, называются собственными полями волновода.

В силу цилиндрической симметрии, продольные компоненты Ez и Hz должны удовлетворять одинаковым граничным условиям на противоположных стенках прямоугольного волновода, либо на поверхности круглого цилиндра. Следовательно, Ez и Hz должны иметь колебательный характер на поперечном сечении. Поэтом в (5.7) не может быть отрицательной величиной. Для отрицательных , как известно, решениями уравнений (5.7), являются гиперболические синусы и косинусы, а при положительных значениях тригонометрические синусы и косинусы.

Из соотношений (5.6) следует, что помимо волн электрического и магнитного типов в волноводах могут существовать волны поперечного типа, у которых обе продольные компоненты равны нулю E_z=0 и H_z=0. Они обозначаются как TEM волны. Из (5.6) следует, что у TEM волн поперечные составляющие могут существовать только при условии, что . При этом условии в правой части (5.6) формально возникает неопределенность, которая разрешается в том случае, если поперечные составляющие полей E и H, согласно (5.3) и (5.4) удовлетворяют уравнениям

(5.10)

Однако TEM волна не может существовать в полой металлической трубе, так как ее поверхность эквипотенциальна и поле внутри трубы равно нулю. Необходимым условием существования TEM волны, является наличие металлического цилиндра внутри полой трубы. В такой структуре возникает разность потенциалов, поддерживающая распределение электрического поля, на поперечном сечении, точно соответствующего статическому распределению согласно уравнению (5.10).

Рассмотрим особенности частотной дисперсии E и H волн. В силу того, что поперечное волновое число для E и H волн величина вещественная и имеет размерность , можно ввести критическую длину волны и граничную частоту

(5.11)

Из определения и критических параметров (5.11), можно представить постоянную распространения в виде

Полученные соотношения позволяют найти фазовую групповую скорости и длину волны .

(5.12)

- длина волны в свободном пространстве, c – скорость света. (Индекс g в обозначении длины волны в волноводе от guide от руководить вести. В техническом смысле длина волны в направляющей системе). Таким образом, частотная дисперсия E и H волн в волноводах, определяется соотношениями (5.12). На рис.5.2 представлены графики частотной дисперсии в волноводах. Как видно, в волноводах могут существовать E или H волны только при условии .

Для частот меньше гамма становится мнимой величиной, и волны в волноводе распространяться не могут.

Критические параметры зависят от формы и размеров поперечного сечения волновода которые всегда могут так, что на рабочей частоте в волноводе будет распространяться волна только определенного типа. Так как волны в волноводе всегда меньше волнового числа в свободном пространстве, то значит длина волны в волноводе всегда больше чем в свободном пространстве, а ее фазовая скорость выше скорости света. Поэтому волны в волноводе называют быстрыми. Групповая же скорость всегда меньше скорости света. Произведение фазовой и групповой скорости имеет постоянное значение равное квадрату скорости света. В двухсвязанных волноводах у волн TEM частотной дисперсии нет.