1.2. Система уравнений электромагнитного поля

1. Почему в систему уравнений электромагнитного поля входит уравнение div В = 0, тогда как уравнение div  = 0 не входит?

Ответ.

Уравнение div  = 0 вытекает из первого уравнения Максвелла rot H = . B силу тождества div rot H  0. Поэтому оно не входит в систему уравнений электромагнитного поля.

В силу этого же тождества из второго уравнения Максвелла следует равенство , означающее неизменность во времени величины div В. Хотя уравнение div В = 0 и следует из второго уравнения Максвелла, однако его нельзя исключить из системы уравнений электромагнитного поля, так как при рассмотрении не изменяющихся во времени полей, когда , из второго уравнения Максвелла, принимающего в этом случае вид rot E = 0, уже не вытекает уравнения div В = 0, показывающего, что магнитных зарядов не существует.

2. Может ли существовать векторное поле A удовлетворяющее уравнениям rot A = f  0, div A = C  0, т. е. поле, созданное как векторными, так и скалярными источниками?

3. Можно ли поле плотности тока представить в виде  = rot F, где F - некоторая векторная функция, не равная напряженности Н поля?

Ответ.

Так как вектор плотности тока удовлетворяет уравнению div  = 0, то в силу тождества div rot F = 0 его можно представить в виде  = rot F и рассматривать как источник некоторого векторного поля F, не обязательно совпадающего с полем вектора напряженности магнитного поля, также удовлетворяющего уравнению  = rot Н.

1.3. Граничные условия на поверхностях раздела сред с различными свойствами

1. Почему граничные условия B_n1 = B_n2, E_t1 = E_t2 как и условия H_t1 = H_t2, D_n1 = D_n2 не являются независимыми в случае переменного электромагнитного поля?

Ответ.

В силу условия E_t1 = E_t2 можем записать равенство , где контуры l₁, l₂ интегрирования, имеющие одинаковую форму, взяты на обеих сторонах поверхности раздела в различных средах. Учитывая, что форма контуров может быть принята произвольной (в частности, они могут быть стянуты в точку), можем, используя закон электромагнитной индукции , записать условие В_n1 = B_n2. Таким образом, граничные условия E_t1 = E_t2 и В_n1 = B_n2 не являются независимыми.

Аналогичное рассуждение позволяет прийти к заключению, что из условия H_t1 = H_t2 для переменного электромагнитного поля вытекает равенство D_n1 = D_n2, так что эти соотношения также не являются независимыми.

2. В чем причина возникновения скачка нормальной к поверхности раздела сред составляющей напряженности а) электрического, б) магнитного поля?

Ответ.

В случае а) она заключается в возникновении тонкого слоя связанных электрических зарядов на поверхности раздела сред вследствие их различной поляризованности.

В случае б) различная намагниченность М тел ведет вследствие непрерывности нормальной к поверхности раздела сред составляющей магнитной индукции к скачку нормальной составляющей напряженности магнитного поля, так как .

3. Какие из составляющих векторов D, Е, В, Н могут претерпевать разрыв в точках поверхностей раздела двух сред с различными электрическими и магнитными свойствами?

4. Сохраняют ли непрерывность касательные и нормальные составляющие векторов D, Е, В, Н на поверхности раздела двух анизотропных сред с различными электрическими и магнитными свойствами?

Ответ.

Граничные условия непрерывности составляющих векторов поля на поверхности раздела с различными свойствами сохраняют свой вид и при анизотропных средах. Однако условия, выражающие скачки составляющих векторов поля, изменяются.

Если тензоры (₁), (₂) записать в виде

то из условия D_n1 = D_n2 следует выражение _nn1E_n1 = _nn2E_n2-(_nt1-_nt2)E_t1, которое в частном случае, когда _nt1 = _nt2 переходит в соотношение .

5. Какое из условий: D_n1 = D_n2 или E_t1 = E_t2 сохранит свой вид при наличии свободного заряда с поверхностной плотностью  на поверхности раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями?