
- •Вопросы, тесты и задания для промежуточного контроля знаний
- •1. Уравнения электромагнитного поля
- •1.1. Уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме
- •1.2. Система уравнений электромагнитного поля
- •1.3. Граничные условия на поверхностях раздела сред с различными свойствами
- •2. Переменное электромагнитное поле в диэлектрике
- •2.1. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике
- •2.2. Вектор Пойнтинга
- •2.3. Вихревая и потенциальная составляющие электромагнитного поля
- •2.4. Передача электромагнитной энергии вдоль проводов линии
- •3. Переменное электромагнитное поле в проводящей среде
- •3.1. Плоская электромагнитная волна в проводящей среде
- •3.2. Активное и индуктивное сопротивления проводов
- •3.3. Неравномерное распределение переменного магнитного потока и электрического тока
- •3.4. Эффект близости. Электромагнитное экранирование
1.2. Система уравнений электромагнитного поля
1. Почему в систему уравнений электромагнитного поля входит уравнение div В = 0, тогда как уравнение div = 0 не входит?
Ответ.
Уравнение div = 0 вытекает из первого уравнения Максвелла rot H = . B силу тождества div rot H 0. Поэтому оно не входит в систему уравнений электромагнитного поля.
В силу
этого же тождества из второго уравнения
Максвелла
следует
равенство
,
означающее
неизменность во времени величины div В.
Хотя
уравнение div В = 0
и следует из второго уравнения Максвелла,
однако его нельзя исключить из системы
уравнений электромагнитного поля, так
как при
рассмотрении не изменяющихся во времени
полей, когда
,
из
второго уравнения Максвелла, принимающего
в этом случае вид rot E = 0,
уже
не вытекает
уравнения div В = 0,
показывающего, что магнитных зарядов
не существует.
2. Может ли существовать векторное поле A удовлетворяющее уравнениям rot A = f 0, div A = C 0, т. е. поле, созданное как векторными, так и скалярными источниками?
3. Можно ли поле плотности тока представить в виде = rot F, где F - некоторая векторная функция, не равная напряженности Н поля?
Ответ.
Так как вектор плотности тока удовлетворяет уравнению div = 0, то в силу тождества div rot F = 0 его можно представить в виде = rot F и рассматривать как источник некоторого векторного поля F, не обязательно совпадающего с полем вектора напряженности магнитного поля, также удовлетворяющего уравнению = rot Н.
1.3. Граничные условия на поверхностях раздела сред с различными свойствами
1. Почему граничные условия Bn1 = Bn2, Et1 = Et2 как и условия Ht1 = Ht2, Dn1 = Dn2 не являются независимыми в случае переменного электромагнитного поля?
Ответ.
В
силу условия Et1 = Et2
можем
записать равенство
,
где
контуры l1,
l2
интегрирования,
имеющие одинаковую форму, взяты на обеих
сторонах поверхности
раздела в различных средах. Учитывая,
что форма контуров может быть принята
произвольной (в частности, они могут
быть стянуты в точку), можем, используя
закон электромагнитной индукции
,
записать
условие
Вn1 = Bn2.
Таким
образом, граничные условия Et1 = Et2
и Вn1 = Bn2
не
являются независимыми.
Аналогичное рассуждение позволяет прийти к заключению, что из условия Ht1 = Ht2 для переменного электромагнитного поля вытекает равенство Dn1 = Dn2, так что эти соотношения также не являются независимыми.
2. В чем причина возникновения скачка нормальной к поверхности раздела сред составляющей напряженности а) электрического, б) магнитного поля?
Ответ.
В случае а) она заключается в возникновении тонкого слоя связанных электрических зарядов на поверхности раздела сред вследствие их различной поляризованности.
В
случае б)
различная
намагниченность М
тел
ведет вследствие непрерывности нормальной
к поверхности раздела сред составляющей
магнитной индукции к
скачку нормальной составляющей
напряженности магнитного поля, так как
.
3. Какие из составляющих векторов D, Е, В, Н могут претерпевать разрыв в точках поверхностей раздела двух сред с различными электрическими и магнитными свойствами?
4. Сохраняют ли непрерывность касательные и нормальные составляющие векторов D, Е, В, Н на поверхности раздела двух анизотропных сред с различными электрическими и магнитными свойствами?
Ответ.
Граничные условия непрерывности составляющих векторов поля на поверхности раздела с различными свойствами сохраняют свой вид и при анизотропных средах. Однако условия, выражающие скачки составляющих векторов поля, изменяются.
Если тензоры (1), (2) записать в виде
то
из условия Dn1 = Dn2
следует
выражение nn1En1 = nn2En2-(nt1-nt2)Et1,
которое
в частном случае, когда nt1 = nt2
переходит
в соотношение
.
5. Какое из условий: Dn1 = Dn2 или Et1 = Et2 сохранит свой вид при наличии свободного заряда с поверхностной плотностью на поверхности раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями?