Вопросы, тесты и задания для промежуточного контроля знаний

по отдельным разделам дисциплины

"Фундаментальные основы высокочастотной электротехники и электромагнитной технологии"

1. Уравнения электромагнитного поля

1.1. Уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме

1.  Какими характерными свойствами должны отличаться задачи, которые можно решить на основе уравнений электромагнитного поля, записанных в интегральной форме?

Ответ.

Способ получения напряженности электрического поля с помощью интегрального соотношения заключается в нахождении такой поверхности s, в любой точке которой вектор Е сохраняет постоянное по модулю значение и направлен к ней под одним и тем же углом . Если такая поверхность существует и она найдена, то величины Е и cos  можно вынести из-под знака интеграла и найти искомую напряженность поля как . Такую поверхность можем определить, если поле обладает одним из типов симметрии: сферической, цилиндрической либо плоской. При сферической симметрии поля поверхность s суть сфера, и в этом случае имеем s = 4r², cos  = 1.

Электрическое поле весьма длинного провода круглого сечения характеризуется цилиндрической симметрией, так что поверхностью s является такая замкнутая цилиндрическая поверхность, на части которой (боковой) имеем Е = const  0, а на другой ее части (торцевой) – cos  = 0.

Способ расчета напряженности Н магнитного поля на основе выражения аналогичен рассмотренному выше: при наличии круговой симметрии поля выбираем такой круговой контур интегрирования, на котором имеем Н = const и в точках которого угол между векторами Н и dl имеет постоянное значение.

2. Правильно ли понимать под электрическим током только движение заряженных частиц или тел?

3. Создается ли магнитное поле электрическим полем, а) не изменяющимся во времени, б) изменяющимся во времени по линейному закону, в) изменяющимся во времени по синусоидальному закону?

4. Зависит ли входящий в правую часть уравнения магнитный поток от электрического тока, индуцируемого этим потоком?

Ответ.

Входящий в правую часть уравнения закона электромагнитной индукции магнитный поток следует понимать как результирующий, определяемый как сумма внешнего (стороннего) потока и магнитного потока, создаваемого индуцируемым электрическим током.

5. При каком условии в проводящем теле, находящемся в не изменяющемся во времени магнитном поле, может индуцироваться ЭДС?

Ответ.

При движении проводящего тела в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции. Если, например, в неизменяющемся магнитном поле постоянных магнитов вращать рамку из провода, то в ней возникает ЭДС.

6. Каково значение величины rot H в однородном магнитном поле?

7. Можно ли, зная направление и значение напряженности магнитного поля в точке, указать в этой точке а) направление вектора rot H, б) значение модуля вектора rot H?

8. Во всех точках некоторой области выполнено уравнение rot H = 0. Может ли в этой области существовать магнитное поле?

9. Можно ли понимать под магнитной индукцией В, входящей в правую часть второго уравнения Максвелла, индукцию стороннего поля, не зависящую от индуцируемого им электрического поля?

Ответ.

Под индукцией В, входящей в правую часть второго уравнения Максвелла, следует понимать результирующую индукцию, обусловленную действием стороннего и индуцированного полей: . Именно изменяющееся во времени результирующее поле с индукцией В приводит в соответствии со вторым уравнением Максвелла к появлению электрического поля и электрического тока. Составляющая поля возникает вследствие протекания индуцированного тока. Индуцированное электрическое поле приводит к появлению электрических токов. В идеальном диэлектрике протекают токи электрического смещения и переноса, магнитное поле которых совместно со сторонним полем образуют результирующее поле, индукция которого входит в правую часть второго уравнения Максвелла. В проводниках источниками индуцированного поля являются токи смещения и проводимости.

В ряде случаев индуцированным полем можно пренебречь и не принимать во внимание составляющую , входящую в правую часть второго уравнения Максвелла. Такое допущение существенно упрощает решение задачи анализа электромагнитного поля. Оно оправданно, если .

10. Является ли безвихревым электрическое поле, единственная составляющая напряженности Е_х прямоугольной системы координат которого есть функция только координаты х?

Ответ.

В силу соотношений имеем rot E= 0 и, следовательно, такое поле - безвихревое.

11. Является ли функция div D векторной?

12. Зависит ли значение функции div А в точке от выбора системы координат, в которой ее рассчитывают?

13. Может ли соленоидальное поле быть вихревым?

14. Чем различаются изображения силовых линий электрического поля в областях, где имеются сосредоточенные электрические заряды и где их нет?

15. Плотность какого из зарядов входит в правую часть уравнения свободного или связанного?

16. Может ли поле одного из векторов, связанных соотношением D = E быть соленоидальным, а другого вектора нет?

Ответ.

Поле вектора D соленоидальное при div D = 0, т. е. при отсутствии в области свободных зарядов. Если среда однородна, то _ div E = 0 и, следовательно, поле вектора Е также соленоидальное. В неоднородной среде имеем div D = div Е= div E + Е grad =0 и div Е = , откуда следует, что в общем случае div Е  0, т. е. поле вектора Е не является соленоидальным.

17. Свободные заряды в некотором объеме отсутствуют, так что div D = 0. Справедливо ли равенство div E= 0 в точках объема, если среда a) однородна, б) неоднородна?

18. При каких условиях справедливо выражение div Н = 0?

Ответ.

 Выражая величину div H из соотношения , приходим к заключению, что в однородной в магнитном отношении среде выражение div H = 0 справедливо, тогда как в неоднородной среде, когда grad   0, оно неверно.

19. Вектор H напряженности магнитного поля в области, свободной от тока, направлен вдоль оси х. Является ли напряженность поля функцией координат? Будет ли ответ тем же, если плотность тока не равна нулю? ( = const).

Ответ.

Напряженность магнитного поля не является функцией координат, так как при заданных условиях (J = 0, Н = H_x) из уравнения rot H = 0 получаем: . Учитывая условие , приходим к заключению, что поле является однородным и Н = const.

При J  0 имеем: и так как , то имеем H = H(y,z).

20. Имеют ли смысл выражения div div A_, rot grad V, grad rot A, rot rot A, grad div A, grad grad V, div rot A, rot div A? Какие из них тождественно равны нулю?

Ответ.

 Выражения div div A, grad rot A, grad grad V, rot div А смысла не имеют, так как функция div A скалярная, операции div и rot над которой выполнены быть не могут, а функции rot A, grad V - векторные, над которыми нельзя выполнить операцию градиента. Тождественно равны нулю выражения rot grad V и div rot A.

21. При каком характере распределения в пространстве электрического тока и заряда величины rot H, div D теряют смысл?

Ответ.

 Эти величины теряют смысл в точках, где объемная плотность тока либо заряда обращается в бесконечность. Иногда принимают допущение о том, что ток течет по проводу бесконечно малого сечения либо по бесконечно тонкому листу. В ряде случаев целесообразно рассматривать электрические заряды как сосредоточенные в бесконечно малых объемах, распределенные вдоль бесконечно тонких проводов либо распределенные на бесконечно тонких листах. Во всех этих случаях источник размещен в бесконечно малом объеме, поэтому его объемная плотность становится бесконечной и величины «ротор» (rot) и «дивергенция» (div) в таких точках не определены.