2. Приведение квадратичной формы к диагональному виду
В общем случае
квадратичная форма
имеет весьма сложное выражение,
диагонализация ее с учетом
представляет очень трудную задачу. Для
системы в состоянии равновесия, отвечающей
минимуму энергии в соответствии с (1.5)
равновесное распределение дается (1.2).
Если же систему выводят из этого
состояния, то возникают колебания
намагниченности в каждой точке
ферромагнетика. Представим энергию
возбуждения в виде энергии магнонов и
вычислим спектр возбуждений. Вводим
бозе-операторы рождения -
и уничтожения
,
подчиняя их коммутативным соотношениям:
;
;
;
. (2.1)
Для операторов
,
,
используем представление Хольштейна-Примакова:
;
;
.
В данном случае
.
Но так как в нулевом
приближении
,
то имеем
;
;
(2.2)
При учете последующих
слагаемых в разложении по степеням
(что справедливо вообще говоря, для
больших значений
)
возникают более высокие степени
операторов. Для их правильной записи в
необходимо ввести упорядочение
левее в это делается с помощью
коммутационных соотношений:
Ex. 1.
2.
В выражениях
,
,
отбросим слагаемые степени
:
;
;
.
- обменное
взаимодействие.
Перегруппируем слагаемые и представим в виде:
,
где
,
.
Положим
.
Перегруппировав слагаемые в
,
получаем:
.
Перейдем к
безразмерным переменным
,
.
Используем:
,
.
Представить
на данном этапе нам мешают дополнительные
слагаемые вида
,
которые не дают возможности назвать
энергию магнонов. Поэтому нам следует
диагонализировать
.
Переходим к
фурье-представлению в плоскости
.
, 
(2.3)
Операторы
и
подчиняются коммутативным соотношениям:
.
Подставляя (2.3) в
,
находим:
.
Проинтегрируем
по
и
.
Так как (
)
ортогональны. То в сумме останутся
слагаемые только с
.
Обозначим
,
получаем:
(2.4)
; 
;
.
Необходимо диагонализировать гамильтониан (2.4). Представив его в виде:
(2.5)
С новыми операторами
и
,
которые подчиним коммутативным
соотношениям:
; 
, (2.6)
и не зависящими
от
.
- оператор числа магнонов с
;
- соответствующая энергия. В решении
зависимость
следует из уравнения движения:
,
(2.7)
Причем
Введем уравнения
движения для операторов
:
(2.8)
.
,
,
.
Тогда
.
Интегрируя по
,
находим
;
.
Таким образом,
уравнение движения для
имеет вид:
. (2.9)
Для приведения (2.9) к (2.7), а - к диагональному виду (2.5), зададим каноническое преобразование:
(2.10)
Из (2.5) и (2.6) следует:
(2.11)
Следовательно,
и
подчиняются уравнениям:
(2.12)
Представим их в виде:
,
если
и
коммутируют, то уравнения для
и
имеют одинаковый вид, то есть
и
отличаются на некий множитель:
. (2.13)
В нашем случае
где
- линейный оператор, такой что
.
Перепишем уравнения (2.12) с учетом (2.13):
(2.14)
Так как эти уравнения должны совпадать, то
.
Отсюда
.
Подставляя в (2.15), получаем:
или
. (2.16)
Это уравнение имеет ограниченное на бесконечности решение при условии, когда скобка равна нулю, то есть
Так как
,
то отсюда получаем для энергии:
.