Глава 2. Методы решения дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами

1. Метод Эйлера

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то сначала рассмотрим метод интегрирования однородного дифференциального уравнения.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…+a_n-1y'+a_ny=0, (11)

где коэффициенты а₁, а₂, …, а_n-1, а_n – некоторые действительные числа.

Для нахождения частных решений уравнения (11) составляют характеристическое уравнение

kⁿ+a₁k^n-1+a₂k^n-2+…+a_n-1k+a_n=0, (12) которое получается из уравнения (15) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Уравнение (12) является уравнением n-й степени и имеет n корней (действительных и комплексных, среди которых могут быть и равные). Тогда общее решение дифференциального уравнения (11) строится в зависимости от характера корней уравнения (12) :

1. каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида Сe^kx ;

2. каждому действительному корню кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида ( С₁+ С₂х+ … +С_mx^m-1)e^kx ;

3. каждой паре комплексных сопряженных простых корней k₁=α +βi и k₂=α - βi в общем решении соответствует слагаемое вида е^αх(С₁соs βx+ +C₂ sin βx) ;

4) каждой паре комплексных сопряженных корней k₁=α +βi и k₂=α - βi кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида е^αх[(C₁+ +C₂x+ … +C_m-1x^m-1) cos βx] + [(C'₁+ C'₂x+ …+ C'_m-1x^m-1) sin βx].

Изложенный выше метод построения фундаментальной системы решений для уравнений высших порядков распространяется на уравнение второго порядка. [1]

Рассмотрим примеры на применение выше изложенного метода .

В примерах 1-13 найти общее решение однородных дифференциальных уравнений:

Пример 1. [1, стр. 149], у'' – 7у'+6у=0.

Составим характеристическое уравнение k²-7k+6=0; его корни k₁=6, k₂=1. Следовательно, е^6х и е^х – частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид у= С₁е^6х+ С₂е^х.

Пример 2. [3, стр. 137], у''' +4у'' +6у' +4у=0.

Характеристическое уравнение имеет корни k₁= -2, k₂= -1+i, k₃= -1-i, так что все корни различные, но среди них имеются комплексные. Действительному корню k₁= -2 соответствует частное решение у₁= е^-2х. Паре комплексных сопряженных корней k_1,2= -1-i соответствуют два линейно независимых частных решения у₂=е^-х cos x, у₃=е^-х sin x . Общим решением будет линейная комбинация частных решений у₁, у₂, у₃ : у= С₁е^-2х + +С₂е^-х сos x +C₃е^-х sin x.

Решим примеры на применение метода Эйлера.

Примеры 3-8 [1, стр.154, 155].

Пример 3. у'' -6у' +8у=0.

Составим характеристическое уравнение k²-6k+8=0, корни характеристического уравнения k₁=2 и k₂=4, так как все корни различные и действительные, то фундаментальная система имеет вид у₁=е^2х, у₂=е^4х. Общее решение будет у= С₁е^2х+ С₂е^4х.

Пример 4. у⁽⁵⁾ -10у'''+9у'=0.

Характеристическое уравнение k⁵-10k³+9k=0, k₁=0, k₂=1, k₃=-1, k₄=3, k₅=-3, следовательно у₁=1, у₂=е, у₃=е^-1, у₄=е³, у₅=е^-3. Общим решением будет у= С₁+С₂е^х+С₃е^-х+С₄е^3х+С₅е^-3х.

Пример 5. у⁽⁴⁾ –у=0.

Характеристическое уравнение k⁴-k=0, k_1,2=±1, k_3,4=±i, фундаментальная система у₁=е, у₂=е^-1, у₃=соs x , у₄=sin x. Общее решение у= С₁е^х+С₂е^-х+ С₃ cos x+C₄ sin x.

Пример 6. у⁽⁴⁾+10у''+9у=0.

Характеристическое уравнение примет вид k⁴+10k²+9=0, k_1,2=±3i и k_3,4=±i, так как корни комплексные, то фундаментальная система у₁=сos 3x, у₂=sin3x, у₃=cos x, у₄=sin x. Общим решением будет у=С₁ cos3x+C₂ sin3x+C₃ cosx+C₄ sinx.

Пример 7. у''=0.

Характеристическое уравнение k²=0, корни которого равны k_1,2=0. Фундаментальная система примет вид у₁=е⁰, у₂=е⁰. Общее решение у= С₁+хС₂.

Пример 8. у⁽⁴⁾ +8у'' +16у=0.

Характеристическое уравнение k⁴+8k²+16=0, корни которого k_1,2,3,4=±2i . Фундаментальная система у₁=соs 2x, у₂=sin 2x, у₃=сos 2x, у₄=sin 2x.

Общее решение у=( С₁+C₂ x) cos 2x+(C₃ +C₄ x ) sin х.

Примеры 9-13 [1, стр.151].

Пример 9. у''-4у'+4у=0.

Характеристическое уравнение k²-4k+4=0, корни которого равны k_1,2=2. Фундаментальная система у₁=е^2х , у₂=е^2х. Тогда общее решение будет у=С₁е^2х+С₂хе^2х.

Пример 10. у⁽⁴⁾ -2у'''+у''=0.

Характеристическое уравнение примет вид k⁴-2k³+k²=0, корни равны k_1,2=0 , k_3,4=1. Тогда фундаментальная система примет вид у₁=е⁰, у₂=е⁰ , у₃=е^х, у₄=е^х. Общее решение будет у=С₁+С₂х+С₃е^х+С₄ хе^х.

Пример 11. у''+25у=0.

Характеристическое уравнение примет вид k²+25=0, корни которого равны k_1,2=5i . Фундаментальная система у₁=е⁰ cos 5x , у₂= е⁰ sin 5x. Общее решение будет равно у=С₁ cos 5x +C₂ sin 5x.

Пример 12. у'' - у' -2у=0.

Характеристическое уравнение k² –k – 2=0, корни которого k₁=-1, k₂ =2, тогда фундаментальная система уравнений будет соответственна равна у₁=е^-х, у₂=е^2х. Общее решение у=С₁ е^-х+ С₂ е^2х.

Пример 13. у⁽⁴⁾ - 5у'' –+4у=0.

Характеристическое уравнение примет вид у⁴ –5k² +4=0, корни которого k_1,2= ±2i, k_3,4= ±i. Фундаментальная система уравнений у₁=e⁰ cos 2x,

у₂=е⁰ sin 2x, у₃=е⁰ cos x, у₄=е⁰ sin x. Тогда общее решение будет у=С₁ cos 2x+С₂ sin 2x + С₃ cos x +С₄ sin x.