3. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий

Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные от искомой функции и может содержать искомую функцию и независимую переменную. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных. Например:

1. х²у'+ 5ху=у'' – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2. у''+2у'=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3. F(x, у, у', у'')=0 – общий вид дифференциального уравнения второго порядка;

4. у'''-у'= -3х+1 – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например: x² + y² = C.

Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде

F (x, y) = 0, называется интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, содержащее произвольные постоянные, из которого любое частное решение может быть получено при соответствующем подборе произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Рассмотрим более подробно понятие о дифференциальном уравнении высшего порядка с постоянными коэффициентами. Т.к. дифференциальное уравнение высшего порядка и дифференциальное уравнение n – го порядка обозначает один и тот же смысл, в дальнейшем будет использовать термин дифференциальное уравнение n – го порядка для удобства. [3]

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

yⁿ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y′ + a_ny = f(x), (7)

где коэффициенты а₁, а₂, …, а_n - действительные числа, а правая часть f(x) непрерывна в некотором интервале (а, b).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

Дифференциальное уравнение порядка выше 1 называется дифференциальным уравнением высшего (n – го) порядка.

Уравнение (7) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения.

yⁿ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y′ + a_ny = 0

для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Т. к. коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях х, то все решения данного уравнения определены при всех значениях х. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения. [1]