Оглавление

Введение ……………………………………………………………………. 3

Глава 1. Основные понятия дифференциальных уравнений ………… 5

1. История развития теории дифференциальных уравнений … 6

2. Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений……………………………………………………………. 7

3. Определение дифференциального уравнения и связанных с

ним общих понятий………………………………………………….. 10

4. Линейная зависимость функций……………………………… 12

Глава 2. Методы решения дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами………………………………. 15

1. Метод Эйлера………………………………………………… 15

2. Метод неопределенных коэффициентов…………………… 18

3. Метод Лагранжа……………………………………………… 22

Заключение………………………………………………………………….. 25

Библиографический список……………………………………………….. 26

Введение

Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Основы этой науки были заложены трудами Даламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками.

Актуальность. В своем разделе - теории дифференциальных уравнений - математика прежде всего выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе. Именно естествознание является для теории дифференциальных уравнений замечательным источником новых проблем, оно в значительной мере определяет направление их исследований, дает правильную ориентацию этим исследованиям. Более того, дифференциальные уравнения не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач. Так же дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. [2]

Историческая справка. При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов. Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения. Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать на небе. Точно в указанном месте эта планета (её назвали Нептун) была затем обнаружена. О ней говорят, что она открыта «на кончике пера» (путем вычислений). Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике. [7]

Целью курсовой работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений.

Объект исследования – обыкновенные дифференциальные уравнения.

Предмет исследования – методы решения дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

Для достижения поставленной цели мною определены следующие задачи:

1. изучить метод Эйлера, метод вариации произвольной постоянной, метод Лагранжа;

2. применять вышеперечисленные методы для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В практической части к каждому из методов были разобраны примеры, количество которых 22.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав: в первой главе рассмотрены основные понятия дифференциальных уравнений (количество параграфов – 3), во второй главе – методы решения дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами (количество параграфов – 4), заключения, библиографического списка.