III. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:
∫udv=uv-∫vdu
где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.
Пример . Найти неопределенный интеграл ∫xe-2xdx
Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe-2xdx=-e-2x+C
Следовательно по формуле имеем:
∫xe-2xdx=x(-e-2x)-∫--2dx=-e-2x-e-2x+C
Пример. ∫(x2+2x)cos2xdx
u=x2+2x, du=(2x+2)dx, dv=cos2xdx, v=∫cos2xdx=sin2x
∫(x2+2x)cos2xdx=(x2+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx
u=x+1, du=dx, dv=sin2xdx, v=-cos2x
(x2+2x)sin2x-∫(x+1)sin2xdx=(x2+2x)sin2x+(x+1)cos2x+sin2x+C
33. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.
Вычисление площади криволинейной трапеции.
Пусть на промежутке [a, b] задана функция f(x)0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью ОХ. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.
1.
Разобьем промежуток [a, b] произвольными
точками
на n частей. Положим
, то есть
есть длина i-го частичного отрезка, а
наибольшую из этих длин обозначим
,
(
=
max
.
2.
На каждом отрезке
[возьмем по произвольной точке
и
вычислим Построим прямоугольник с
основанием
и высотой f( Его площадь равна
Проделаем
это для каждого i= 1, 2, …, n.
3.
Площадь всей заштрихованной ступенчатой
фигуры, составленной из прямоугольников,
равна сумме
Площадь криволинейной трапеции будет
приближенно равна площади ступенчатой
фигуры:
Чем
мельче отрезки деления, тем точнее
полученная фигура «отображает»
криволинейную трапецию.
4. За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается Таким образом,
2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой.
Пусть
известен закон изменения мгновенной
скорости
. Определим путь, пройденный при движении
точки за промежуток времени от
до
.
Движение в общем случае предполагается
неравномерным. Поступим следующим
образом.
1.
Разобьем весь промежуток времени на n
произвольных интервалов
,
где
. На произвольном участке
будем считать движение близким к
равномерному с постоянной скоростью
, Тогда за время пройденный путь
приближенно равен Результат справедлив
для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).
2.
Если указанные интервалы достаточно
малы, то весь путь приближенно равен
сумме
.
Эта формула тем точнее, чем мельче
разбиение данного промежутка времени.
3.
Для получения точной формулы пути
перейдем к пределу, увеличивая число
дроблений
и бесконечно измельчая сами интервалы.
Обозначим
, тогда
К нахожденю такого рода пределов как (1) и (2) приводит огромное количество математических и прикладных задач. Это дает основание для введения общего определения.
34. Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
О
пределенный
интеграл обозначается символом
. Его можно найти по формуле Ньютона —
Лейбница:
35. Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
36. Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ), тогда для любого x [ a, b ] существует функция:
задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.
На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.
П р и м е р . Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону:
f ( x ) = 6x2 + 5 при x 0. По какому закону изменяется работа этой силы ?
Р е ш е н и е. Работа силы f ( x ) на отрезке [ 0 , x ] прямолинейного пути равна:
Таким образом, работа изменяется по закону: F ( x ) = 2x 3 + 5x .
Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x [ a, b ]
F' ( x ) = f ( x ) .
37. Основные методы интегрирования
Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или другими способами, привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их применение к простейшим примерам.
Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
3) метод интегрирования по частям.
I. Метод непосредственного интегрирования
Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.
Пример 1.
∫(1-√x)2dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫xdx+∫xdx=
Пример 2.
Пример 3. ∫sin2xdx
Так как sin2x=(1-cos2x), то
∫sin2xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C
Пример 4. ∫sinxcos3xdx
Так как sinxcos3x=(sin4x-sin2x), то имеем
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C
II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt
Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.
Пример 5. ∫x√x-5dx
Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t2+5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:
∫x√x-5dx=∫(t2+5)•2tdt=∫(2t4+10t2)dt=2∫t4dt+10∫t2dt=
Пример 7.