2. Действие над векторами и их свойства

Ключевые слова: вектор, сумма, разность векторов, координаты вектора

Вектор - это направленный отрезок.

Суммой векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называется вектор −ca1+b1;a2+b2 ,

т.е. −aa1;a2+−bb1;b2=−ca1+b1;a2+b2 .

Для любых векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) справедливы равенства:

переместительный закон: −a+−b=−b+−a;

сочетательный закон: −a+(−b+−c)=(−a+−b)+−c;

из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.

Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство −−AB+−−BC=−−AC

Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов −a и −b. Надо от конца вектора −a отложить вектор равный вектору −b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора −a, а конец - с концом вектора −b, будет суммой векторов −a и −b.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Разностью векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называют такой вектор −c(c1c2), который в сумме с вектором −b(b1;b2) дает вектор −a(a1;a2). Таким образом: −c(c1c2) + −b(b1;b2) = −a(a1;a2), откуда c1 = a1 - b1 и c2 = a2 - b2.

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Произведением вектора −a(a1;a2) на число называется вектор −b(b1;b2), такой что

b1 = a1 и b2 = a2. т.е. −a(a1;a2)=−b(a1;a2).

Для любых векторов −a(a1;a2), −b(b1;b2) и чисел , справедливы два распределительных закона:

(+)−a=−a+−a

(−a+−b)=−a+−b

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

S=−a−b=−a−bcos , если угол между векторами равен .

Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно 0: S=−a−b=0

Если векторы −a и −b равны, то S=(−a)2 и говорят о скалярном квадрате вектора.В этом случае cos=1 , т.е. S=−a2 . Итак, скалярный квадрат вектора совпадает и квадратом его длины: (−a)2=−a2 .

Если векторы −a и −b перпендикулярны, то S=−a−b=0 . Векторы −a и −b перпендикулярны в том и только в т ом случае, когда их скалярное произведение равно нулю.

Для любых векторов −a , −b, −c и числа справедливы равенства:

(−a−b)=(−a−b)

−a(−b+−c)=−a−b+−a−c.

Аналогично рассматриваются вектора и в пространстве.

3. Сложение: операция сложения матрицы вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц и называется матрица такая, что , например,

Тогда

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что

Примечание: матрица называется противоположной матрице .

Операции сложения и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Умножение матрицы на матрицу

Мы будем всегда говорить, что умножение двух матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы: , , , , , ,

где , .

Например:

В общем случае .

Продолжим перечисление свойств (см. п. 2.3.2):

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) .

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относят:

– перестановку местами двух параллельных рядов матрицы;

– умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

– прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы и называются эквивалентными, т. е. ~, если одна из них получается с помощью замен парных преобразований другой.

При получении элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

.