49. Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением Бернулли (при n=0 или n=1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n= 2 является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]
Метод решения
Первый способ
Разделим
все члены уравнения нa
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим
тогда:
Подберем
так,
чтобы было
для
этого достаточно решить уравнение с
разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения
получаем уравнение
—
уравнение с разделяющимися переменными.
Пример
Уравнение
разделим
на
получаем:
Замена
переменных
дает:
Умножаем
на ,
Результаты
50. Однородные уравнения
Определение однородного дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется
однородным, если правая часть удовлетворяет
соотношению
для
всех значений t. Другими словами, правая
часть должна являться однородной
функцией нулевого порядка по отношению
к переменным x и y:
Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде
или через дифференциалы:
где
P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового
порядка.
51.