21. Қисық сызықтар.

Инженерлік графикада қисық сызықтар нүкте мен түзу сызықтан кейінгі қарапайым геометриялық элемент болып саналады. Қисық сызықтар күнделікті өмірде әр түрлі жағдайда кездесіп отырады. Қисық сызықтар әр түрлі жағдайларда:

• белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалатын нүктелер жиынтығы;

• екі қиылысып жатқан беттердің қиылысу сызығы;

• математикалық теңдеулер;

• нүктелер жиынтығының берілген қасиеттері арқылы беріледі.

Қисық сызықтар жазықтық және кеңістік сызықтары болып екі топқа бөлінеді.

Егер қисық сызықтың барлық нүктелері жазықтық бойында орналасқан болса, онда бұл сызықты жазықтық қисық сызығы дейді. Егер қисық сызықтың бір немесе бірнеше нүктесі ғана жазықтық бойында орналасса, қалған нүктелері кеңістікте болса, онда бұл сызықты кеңістік қисық сызығы дейді. Бұл топтан басқа қисық сызықтар заңды және заңсыз сызықтар болып бөлінеді. Ешқандай заңға бағынбайтын және кездейсоқ сызылатын қисық сызықтың түрін заңсыз сызылған қисықтар дейді. Бұл қисық сызыққа топографиялық беттегі горизонталь деңгейлік сызықтары мысал бола алады.

Заңды қисық сызықтар бір белгілі заңдылық арқылы пайда болады. Заңды қисық сызық аналитикалық теңдеулеріне қарай трансцендентті және алгебралы болып бөлінеді.

Трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері де рационалды функциялар болмайды. Бұл сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы (латынның жаймаланған деген сөзі) мен эвольвентасы (латынның жаймаланатын деген сөзі), синусоид және с.т.б.

Егер қисық сызық теңдеуі рационалдық (көпмүшелік) функциялар (декарттық координаталар түрінде берілсе) түрінде берілсе, онда сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. Алгебралық қисық сызықтың теңдеуінің дәрежесіне қарай екі дәрежелі, үш дәрежелі, төрт дәрежелі және т.б.с.с.

Сызба геометрияда жазықтық қисық сызықтарының дәрежелері қисық сызықтың түзу сызықпен қиылысу нүктелері арқылы анықтайды.

22. Жазықтың қисық сызықтары.

Жоғарыда айтып кеткендей, егер қисық сызықтың барлық нүктелері бір жазықтық бойында орналасқан болса, онда мұндай қисық сызықтарды жазықтық қисық сызығы дейді.

Жазықтық қисық сызықтары алгебралық және трансцендентті болып бөлінеді. Қисық сызық теңдеуі рационалдық функцияларда берілсе, онда қисық сызық алгебралық қисық сызық болады. Ал керісінше трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері рационалды функциялар болмайды.

Жазықтық алгебралық қисық сызықтар теңдеуінің дәрежесіне қарай екі дәрежелі, үш дәрежелі, төрт дәрежелі және т.б.с.с. болып бөлінеді. Ал трансцендентті қисық сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы мен эвольвентасы, синусоид және т.б.с.с. қисық сызықтар жатады. Төменде жазықтық алгебралық қисық сызықтарға мысал ретінде екі дәрежелі қисық сызықтар мен шеңбердің эволютасы, эвольвентасы, синусоидасын қарастырып отырмыз.

23. Кеңістік қисық сызықтар.

Кеңістіктік қисық сызықтар жазық қисықтардан айырмашылығы - сызықтардың бір немесе бірнеше нүктелері ғана жазықтық бойында жату мүмкіндігі (139-сурет). Бұл кеңістік қисық сызықтарына мысал ретінде цилиндрлік және конустық бұрама сызықтарын қарастырайық. Бұрама қисық сызық нүктенің бірқалыпты айналу мен түзу сызықты қозғалысынан пайда болады. Цилиндрлік бұрама қисық сызық деп бірқалыпты айналатын түзудің бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (140-сурет).

К ей жағдайда цилиндрлік бұрама қисық сызықты гелиса деп те атайды. 140-суреттен көріп отырғандай шеңберді тең бөлікке бөліп, шеңбердің ұзығындығын анық-тап, оны тең бөлік-терге бөліп алып, осы нүктелерден өзара перпенди-куляр сызықтармен қосып бұрама сы-зықты саламыз. Нүктенің цилиндр бойымен толық бір бұрама айналғанда, көтерілген биіктігін (h) бұрама сызық-тың адымы дейді.

Е гер цилиндр-лік бұрама қисық сызықтың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне бағыттас айналса, онда бұрама сызық оңқай сызық болады.

Егер сызықтың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне қарама-қарсы айналса, онда цилиндрлік бұрама сызық солақай болады (140-сурет).

Конустық бұрама қисық сызық деп өзімен қиылысатын түзуден бірқалыпты айналатын түзудің бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (141-сурет).

Конустық бұрама сызық цилиндрлік бұрама қисық сызықтың айырмашылығы - оның шеңбердегі үстінен қараған түрі Архимедтің спиралы түрінде берілсе, конустың алдынан қарағандағы көрінісі кеміген (өшкен) синусоида түрінде беріледі (141-сурет).

24-25. Қисық беттер. Айналу беттер

Айналмалы беттер деп кез келген сызықтың тұрақты бір ось бойымен айналуынан құралған бетті айтады. Айналмалы бет болғандықтан, оның параллелі (сызықтың кез келген нүктесі шеңбердің бойымен айналғандағы сызық) және меридианы (бетті айналу осінен қиып өтетін жазықтық пен беттің қимасы) болады. Сызықтардың айналу осіне және орналасуларына байланысты айналмалы беттер конус, цилиндр, сфера (шар), гиперболоид, параболоид, эллипсоид және т.с.с. болып бөлінеді. Енді осы беттердің ішіндегі көп тараған түрі дөңгелекті конус пен цилиндрді қарастырамыз.

Айналу конус беті

Конус деп тұрақты бір ось бойымен және осы оське сүйір немесе доғал бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады. Конус бетті көлденең горизонталь П₁ проекция жазықтығына орналасуына байланысты қиғаш және тік болып екіге бөлінеді. Егер конус бетінің тұрақты осі көлденең П₁ проекция жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда П₁ жазықтығына тік орналасқан конус болып табылады (142-сурет). Тік конус бетті дөңгелек табанымен және жасаушы көлбеу сызығымен беріледі.

1 42-суреттің жоғарғы жағында, тік дөңгелекті конустың кеңістіктегі кескіні көрсетілген. Мұндағы АВ түзуі тік конустың жасалушысы болса, конустың айналу осі i сызығы болады.

Айта кету керек, конусты табанына байланысты эллипсті, параболалы, гиперболалы, дөңгелекті, т.б. болып бөлінеді.

Ал 143-суретте тік дөңгелекті конустың тік бұрышты жазықтықтар жүйесі, фронталь және горизонталь проекциясы көрсетілген.

М ұндағы А₂В₂ және А₁В₁ түзу сызықтары тік конустың фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарындағы жасалу-шылары болса, ал S₂ және S₁ конустың төбесі болады. Ал тік конустың фронталь проекция жазықтығында айналу осі i₂ сызығы болса, горизонталь проекция жазықтығында айналу осі i₁ сызығы А₁ және S₁ нүктелерімен беттесіп кетеді.

Енді осы конус бетінде орналасқан С нүктесін қарастырайық (143-сурет). Конус бетінің жасалушылары бір нүктеден тарайтын болғандықтан, конустың бетінде орналасқан кез келген нүктеден жасалушы түзуін жүргізіп нүктенің фронталь және горизонталь проекцияларын тауып аламыз.

Егер конус бетінің айналу осі көлденең П₁ проекция жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен орналасса, онда мұндай конус П₁ жазықтығына қиғаш орналасқан конус болады (144-сурет). Қиғаш конусқа мысал ретінде 144-суретте өзара тік бұрышты орналасқан проекциялар жазық-тықтарындағы фронталь және горизонталь проекциясы көрсетілген.

М ұнда да А₂В₂ және А₁В₁ түзу сызықтары қиғаш конустың фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарындағы жасалушылары болып келеді. Ал S₂ және S₁ қиғаш конустың проекция жазықтықтарын-дағы төбесі болады. Қиғаш конустың фронталь проекция жазықтығында айналу осі i₂ сызығы болса, горизонталь проекция жазықтығында айналу осі i₁ сызығы болады. Суретте берілгендей, қиғаш конустың горизонталь проекция жазықтығын-дағы конус табаны шеңбер болады.

Енді қиғаш орналасқан конус бетінде орналасқан С нүктесін қарастыратын болсақ, онда конус бетінің жасалушылары бір нүктеден тарайтынын біле отырып, конустың бетінде орналасқан кез келген нүктеден жасалушы түзуін жүргізіп, нүктенің фронталь және горизонталь проекцияларын тауып аламыз.

Айналу цилиндр беті

Ц илиндр деп тұрақты бір ось бойымен және осы оське тік бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады (145-сурет). Цилиндр беті де проекция жазықтықтарына орнала-суларына байланысты қиғаш және тік орналасқан болып екі түрге бөлінеді. Айналмалы беттердің табанына байланысты цилиндрлі беттер элиппсті, параболалы, дөңгелекті және тағы басқа сол сияқты болып көптеген түрлерге бөлінеді.

Егер цилиндр бетінің тұрақты айналу осі көлденең П₁ горизонталь проекция жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда цилиндрлік бет П₁ жазықтығына тік орналасқан болып табылады (145-сурет).

1 45-суретте тік дөңгелекті цилиндрдің кеңістіктегі орналасқан кескіні көрсетілген. Мұндағы АВ түзу сызығы тік цилиндрдің жасалушысы, ал i түзу сызығы цилиндрдің айналу осі болады.

Ал 146-суретте тік дөңгелекті цилиндрдің фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарындағы кескіні көрсетілген. Бұл жерде А₂В₂ және А₁В₁ түзу сызықтары - фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарындағы тік цилиндрдің жасалушысы. Горизонталь проекция жазықтығындағы цилиндрдің төменгі және жоғарғы табандары өзара беттесіп, бір ғана шеңберді береді. Ал фронталь проекция жазықтығындағы цилиндрдің проекциясы төрт бұрышты болады. Егер цилиндр бетінде С нүктесі орналасқан болсақ, онда осы С нүктесі арқылы цилиндр бетінің жасалушысына параллель түзу жүргізіп, цилиндрдің табанымен қиылыстырып нүктенің горизонталь проекциясын табамыз.

Егер цилиндр бетінің айналу осі көлденең П₁ горизонталь проекция жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен орналасса, онда мұндай цилиндр П₁ горизонталь проекция жазықтығына қиғаш орналасқан цилиндр болады.

Қ иғаш цилиндр бетінің кеңістіктегі кескіні 147-суретте көрсетілген. Бұл суретте АВ түзу сызығы қиғаш цилиндрдің жасалу-шысы болса, i сызығы цилиндрдің айналу осі бо-лады. Қиғаш цилиндр бетінің табандары өзара параллель және көлденең П₁ гори-зонталь проекция жазықты-ғына да параллель орналас-қан бет. Бірақ айта кету керек, қиғаш цилиндр бетінің табандары өзара әр түрлі және горизонталь проекция жазықтығына параллель болмайтын қиғаш цилиндр беті болады.

К елесі 148-суретте кеңістіктегі қиғаш цилиндр бетінің горизонталь және фронталь проекция жазық-тығындағы эпюрасы көрсе-тілген.

Егер қиғаш цилиндр бетінің горизонталь проек-циясын қарастыратын болсақ, онда ол проекция жазық-тығында цилиндр бетінің табандары екі шеңбер күйінде көрсетілген.

148-суретте А₂В₂ және А₁В₁ түзу сызықтары фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарын-дағы көлденең немесе қиғаш орналасқан цилиндрдің жаса-лушысы болып табылады. Ал цилиндрдің айналу осі i₂ және i₁ нүктелі үзбе сызықтары арқылы берілген.

Егер қиғаш цилиндр бетінде С нүктесі орналасқан болсақ, онда осы С нүктесі арқылы беттің жасалушысына параллель түзу жүргізіп, цилиндрдің табанымен қиылыстырып нүктенің горизонталь проекциясын табады (148-сурет).

26-27. Түзү мен аналу беттерінің қиылысуы. Конус пен цилиндрдің түзу сызықпен қиылысуы

Конус пен цилиндр кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзу сызықпен «кіру» және «шығу» деп аталатын екі қиылысу нүктелері болады. Төменде тікбұрышты дөңгелек конус пен жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының фронталь және горизонталь проекция жазықтығындағы кескіндері берілген (149-сурет).

Қиылысу нүктелерін табу үшін, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзуді конус табанына түсіреміз. Ол үшін фронталь проекция жазықтығындағы конустың S₂ төбесі мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың А₂ және В₂ төбелерінен өтетін түзу жүргіземіз. Бұл түзулер х осімен қиылысып, А₂^/ және В₂^/ нүктелерін береді. Табылған осы нүктелерден горизонталь проекция жазықтығында байланыс сызықтарын жүргізіп қоямыз. Енді горизонталь проекция жазықтығында конустың S₁ төбесі мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың А₁ және В₁ төбелерінен өтетін түзу жүргіземіз. Ал бұл түзулер байланыс сызықтарымен қиылысып, А₁^/ және В₁^/ нүктелерін береді. Осы н үктелерді өзара қоссақ, онда бұл түзу конус табанын С₁^/ және D₁^/ нүктелерінде қиып өтеді. Енді осы нүктелерді конустың S₁ төбесімен қосамыз. Бұл түзулер жалпы жағдайдағы А₁В₁ түзу сызығын С₁ және D₁ нүктелерінде қиып өтеді. Осы табылған нүктелер-ден байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығында орналасқан АВ түзуімен қиылыстырып, С₂ және D₂ нүктелерін табамыз. Жалпы жағдайдағы түзу сызықтың горизонталь проекция жазықтығын-дағы С₁ және D₁ нүктелерінің аралары конус ішіне кіріп тұрған-дықтан көрінбейтін сы-зықпен сызылады. Ал фронталь проекция жа-зықтығындағы А₂В₂ түзу сызығының проекциясында С₂ және D₂ нүктелерінің аралары көрінбейді.

Енді қиғаш бұрышты дөңгелек цилиндр пен жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының қиылысу нүктелерін қарастырайық (150-сурет)

Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВ түзу мен цилиндрдің қиылысу нүктелерін табу үшін, алдымен АВ түзу сызығын цилиндрдің табанына түсіреміз. Жалпы жағдайдағы түзу сызықтың А₂ және В₂ төбелерінен цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз және бұл түзулер х осімен қиылысып, А₂^/ және В₂^/ нүктелерін береді. Осы нүктелерден байланыс сызықтарын жүргіземіз. Енді осындай жолмен горизонталь проекция жазықтығындағы түзу сызықтың А₁ және В₁ төбелерінен цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер алдында жүргізген байланыс сызықтарымен А₁^/ және В₁^/ нүктелерінде қиылысады. Осы нүктелерді өзара қосып, А₁^/В₁^/ түзуін табамыз. Ал бұл түзу цилиндр табанын С₁^/ және D₁^/ нүктелерінде қиып өтеді. Табылған нүктелерден цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер берілген А₁В₁ түзу сызығымен С₁ және D₁ нүктелерінде қиылысады. С₁ және D₁ нүктелерінен байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығында орналасқан АВ түзуімен қиылыстырып, С₂ және D₂ нүктелерін табамыз.

Горизонталь проекция жазықтығындағы түзу сызықтың С₁ және D₁ нүктелерінің аралары және фронталь проекция жазықтығындағы А₂В₂ түзу сызығының проекциясында С₂ және D₂ нүктелерінің аралары цилиндр ішіне кіріп тұрғандықтан көрінбейтін сызықпен сызылады.