17. Жазықтықты параллель ауыстыру. Проекцияның түзу, параллель жазықтықтары төңірегінде бұру

Проекцияда жазық фигураның шын көлемін осы деңгей түзу сызығының -фигураның түзу сызығының, проекцияның параллель жазықтығының төңірегінде бұру арқылы анықтауға болады. Бұл жағдайда жазық геометриялық бейне ось төңірегінде бір рет бұру арқылы проекция жазықтығына параллель жағдайына келтіруге болады.

А ВС үшбұрышын горизонталь төңірегінде бұру арқылы нақты шамасын анықтауға арналған графикалық құрылысты көрсетейік (119-сурет). Үшбұрыш жазықтығында еркін түрде бұру осін – мысалы, үшбұрыштың С төбесі арқылы өтетін һ горизонталь таңдаймыз. Үшбұрыштың А және В төбелері һ осі төңіре-гінде қоршау бойымен айналады (бұрылады), С төбесі бұру осіне жатады және өзінің қалпын өзгертпейді.

Үшбұрыш көлде-нең жазықтыққа парал-лель жағдайға ие болған кезде В және А нүкте-лерінің радиустары осы жазықтыққа параллель болады, яғни проекция жазықтығына нақты шамамен проекция-ланады.

В нүктесінің бұру орталығы О нүктесі болады, В нүктесінің Г жазықтығымен көлденең проекцияланатын Һ бұруының осі осы оське перпендикуляр болады. В төбесінің бұру радиусы П₁ проекциясының көлденең жазықтығына АВС үшбұрышы жазықтығының өте үлкен еңісінің ОВ түзу сызық кесіндісі арқылы анықталады. ОВ кесіндісінің ұзындығын (В нүктесінің бұрылу осі) тік үшбұрыш тұрғызу арқылы анықтауға болады.

О орталығынан В нүктесін оның қозғалысының Гп^І жазықтығы ізінің бағыты бойынша бұру, радиусының ұзындығын алу және деңгей жазықтығына дейін біріккен В нүктесінің В₀ проекциясын белгілейміз. А нүктесінің А₀ біріккен проекциясын табу үшін де осыған ұқсас амалды орындаймыз. Бірақ А нүктесі В₁ түзуіне және осы нүкте қозғалысының Г жазықтығына жататын шарттан да қорытынды жасауға болады. А₀ В₀ С₀ біріккен көлденең проекция АВС үшбұрышына конгруэтті.

Берілген құрылыстарды пайдалана отырып (бірақ кері тәртіпте), үшбұрыштың біріккен жағдайына жататын негізгі нүкте проекцияларын анықтауға болады.

18.

19. Көп жақтар. Кеңістікте орналасқан, жазықтықтардың жиынтығынан құралған кеңістікті шектейтін, бітеу біртұтас геометриялық денені көпжақты беттер дейді. Көпжақты бет дегеніміз - табандары үш немесе одан да көп көпбұрыштардың жиынтығынан құралған геометриялық фигураны айтады (120-сурет).

К өпжақты беттердің жақтары мен қырлары және төбелері болады. Көпжақты беттердің жақтары дегеніміз - беттердің жазықтық болып келетін жағы. Ал көпжақты беттердің қырлары деп беттердің жақтарымен қиылысқан сызығын айтады. Көпжақты беттердің қырлары өзара қиылысып беттердің төбелерін береді.

Көпжақты беттердің жақтарының, қырлары мен төбелерінің өзара орналасуларына байланысты жай және дұрыс болып екі түрге бөлінеді.

Дұрыс көпжақты бет деп жақтарының бұрыштары мен аудандары өзара тең болатын беттерді айтады. Кей жағдайда бұл беттерді Платон денелері деп атайды, себебі Платон бұл көп жақтарды зерттеп олардың атын қойған. Беттердің жақтарының сандарына байланысты көп жақты беттер төмендегі түрлерге бөлінеді: тетраэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын төрт жақты көпжақты бет) (120, а-сурет), октаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын сегіз жақты көпжақты бет) (120, с-сурет), икосаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын жиырма жақты көпжақты бет) (120, e-сурет), гексаэдр (жақтары өзара тең төртбұрыш болатын алты жақты көпжақты бет) (120, b-сурет) және додекаэдр (жақтары өзара тең бесбұрыш болатын он екі жақты көпжақты бет) (120, d-сурет).

Жай көпжақты беттер жақтарына байланысты призма (жақтары өзара перпендикуляр орналасқан), пирамида (жақтары бір ғана нүктеге ұмтылатын) және призматоид (табаны мен үсті өзара параллель орналасқан, жақтары үшбұрыш немесе трапеция болатын) болып бөлінеді.

Призма мен түзу сызықтың қиылысуы

Алдымен тікбұрышты призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу жолын қарастырамыз.

Тікбұрышты проекциялар жүйесінде тікбұрышты табандары АВС үшбұрышты призма мен жалпы жағдайда орналасқан DE түзу сызығының көлденең П₁ горизонталь және П₂ фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіні берілген (123-сурет).

Призма қырлары П₁ горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, олардың табандары беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді. Бұл П₁ горизонталь проекция жазықтығынада D₁E₁ түзу сызығы призманың В₁С₁В₁С₁ және А₁С₁А₁С₁ жақтарын K₁ және L₁ нүктелерінде қиып өтеді. Енді бұл қиылысу нүктелерінің фронталь проекциясын анықтау үшін, осы K₁ және L₁ нүктелерінен байланыс сызығының көмегімен П₂ фронталь проекциясындағы D₂E₂ түзу проек-циясына түсіреміз. Бұл D₂E₂ түзу сызығымен қиылысқан нүктелерді K₂ және L₂ нүктелері деп белгілейміз (123-сурет).

Т абылған K₂ және L₂ нүктелері көрінбейтін болғандықтан, D₂E₂ түзу сызығының ортасы көрінбейді.

Енді жалпы жағдайда орналасқан қиғаш призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін анықтау жолын қарастырайық.

124-суретте кеңістікте орналасқан қиғаш АВС және А₁В₁С₁ табандары үшбұрышты призманың көрнекі кескіні мен жалпы жағдайдағы DE түзу сызығы берілген.

Ж алпы жағдайдағы қиғаш призма мен түзудің қиылысу нүктелерін табу үшін, алдымен кеңістікте орналасқан DE түзу сызықтың төбелерінен қиғаш призманың қырларына параллель етіп сәуле жүргіземіз. Бұл сәулелер П₁ горизонталь проекция жазық-тығын D₁ және E₁ нүкте-лерінде қиып өтеді. Егер осы табылған D₁ және E₁ өзара қоссақ, онда DE түзу сызығының П₁ горизонталь проекция жазықтығының бо-йында жатқан проекциясын табамыз. Бұл табылған D₁E₁ түзу сызығы қиғаш приз-маның горизонталь проекция жазықтығындағы табанын K₁ және L₁ нүктелерінде қиып өтеді. Енді керісінше осы нүктелерден қиғаш призманың қырларына параллель сәулелер жүргіземіз. Жүргізілген сәулелер кеңістікте орналасқан DE түзу сызығын K және L нүктелерінде қияды. Бұл түзу сызықтың DK және LE кесінділері көрінеді де, ал K және L нүктелер арасы призма ішінде қалып көрінбей қалады.

Енді осы жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен түзудің қиылысу нүктелері Монж эпюрасында немесе тікбұрышты проекция жазықтықтар жүйесінде қарастырайық (125-сурет).

Т абандары АВС үшбұрышты болатын жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен кеңістікте орналасқан DE түзу сызығының фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары берілген.

Қиғаш призма мен түзудің қиылысу нүктелерін табу үшін, D₂E₂ түзу сызық проекциясынан қиғаш призманың қырларына параллель болатын сәулелер жүргіземіз. Бұл сәулелер х осімен қиылысып, байланыс сызығын сызамыз. Ал D₁E₁ түзу сызық проекциясынан қиғаш призманың горизонталь проекциясындағы қырларына параллель сәулелер жүргізіп, байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Бұл қиылысқан нүктелерді D₁^/ және E₁^/ белгілеп, өзара қосып, D₁^/E₁^/ түзу сызығын табамыз (125-сурет). Табылған түзу сызықты призманың төменгі табанына түсіп, А₁^/В₁^/С₁^/ үшбұрышының А₁^/В₁^/ қырын K₁^/ нүктесінде, ал А₁^/С₁^/ қырын L₁^/ нүктесінде қиып өтеді. Осы нүктелер арқылы призма қырларына параллель сәулелер жүргізіп, D₁E₁ түзу бойынан K₁ және L₁ нүктелерін табамыз. Бұл K₁ және L₁ нүктелерінің арасы призма ішінде қалып, көрінбейтін сызық болғандықтан, бұл ара қашықтықты штрих сызығымен көрсетіп қоямыз. Енді осы нүктелерден байланыс сызығын жүргізіп, фронталь проекция жазықтығындағы D₂E₂ түзу бойынан K₂ және L₂ нүктелерін табамыз.

Сонымен кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың фронталь және горизонталь проекция жазықтықтарындағы қиылысу нүктелерін анықтадық.

Пирамида мен түзу сызықтың қиылысуы

Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін қарастырайық.

Тікбұрышты жазықтықтар жүйесінде тікбұрышты АВС табаны мен S төбесі бар пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан МN түзу сызығының фронталь және горизонталь проекция жазықтығындағы кескіндері берілген (130-сурет).

Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін табу үшін, профессор С.М. Колотовтың көмекші проекция тәсілін пайдалана отырып, пирамиданың S₂ төбесінен жалпы жағдайдағы орналасқан түзу сызықтың М₂ және N₂ төбелерінен өтетін сәуле жүргіземіз. Бұл сәулелер х осі мен М₂^/ және N₂^/ нүктелерінде қиылыстырып, төмен қарай байланыс сызықтарын жүргіземіз. Енді пирамиданың горизонталь проекция жазықтығындағы S₁ төбесінен түзу сызықтың М₁ және N₁ төбелерінен сәуле жүргізіп, М₂^/ және N₂^/ нүктелерінен түсірген байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Бұл қиылысқан нүктелерді М₁^/ және N₁^/ деп белгілеп аламыз. Табылған М₁^/N₁^/ түзуі кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы М₁N₁ түзу сызығының пирамиданың табанына түскен түрі. Бұл М₁^/N₁^/ түзу сызығы пирамида табанының А₁В₁ қырын L₁^/ және А₁С₁ қырын К₁^/ нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді пирамиданың S₁ төбесімен қоссақ, онда бұл жүргізілген түзу жалпы жағдайдағы М₁N₁ түзу сызығын L₁ және К₁ нүктелерінде қиып өтеді. Суретте көрсетілгендей түзу сызықтың L₁ және К₁ нүктелер арасы пирамида ішінде болғандықтан, бұл аралық көрінбейді. Байланыс сызығының көмегімен осы нүктелерден фронталь проекция жазықтығында орналасқан М₂N₂ түзу сызығымен қиылыстырып, L₂ және К₂ нүктелерін табамыз. Егер K нүктесі түзу сызықтың пирамидаға кіретін нүктесі б олса, онда L нүктесі түзу сызықтың пирамидадан шығатын нүктесі болады.

20. коп жақтардың өзара қиылысулары.

Көпжақты беттердің өзара қиылысуы

Көпжақты беттердің өзара қиылысу сызығын анықтау үшін, көптеген әдістерді пайдалануға болады. Осындай әдістердің ішінде көп тараған түрі қиюшы жазықтықтар әдісі болып табылады. Төменде осы әдісті пайдаланып, мысал қарастырайық.

Мысал ретінде жалпы жағдайдағы орналасқан көлбеу үшжақты призма мен тік орналасқан үшжақты призмалардың қиылысу сызығын қарастырайық (132-сурет).

Е кі призманың қиылысу сызығын табу үшін призма қырларын қиып өтетін қиюшы жазықтықтарын жүргіземіз. Қиюшы Р₁ жазықтығы тік орналасқан үшжақты призманың қырынан өтіп, көлбеу орналасқан үшжақты призманың табанын К₁ және М₁ нүктелерінде қиып өтеді. Байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығынан К₂ және М₂ нүктелерін табамыз. Бұл нүктелерден жүргізілген түзулер тік орналасқан үшжақты призманың қырын С₂ және L₂ нүктелерінде қиып өтеді. Осындай жолмен бірнеше қиюшы жазықтықтар жүргізіп, екі призманың бірнеше нүктелерін (А, В, Е және D) табамыз.

Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда бұл нүктелерінің жиынтығы жалпы жағдайда орналасқан және тік орналасқан призма-лардың қиылысу сызығы болады.