15. Буру әдістері. Бұру (айналдыру) тәсілі

Бұл әдіс заттың қосымша сызбаларын осы затты ось төңірегінде бұру арқылы проекция жазықтықтарының өзгермейтін негізгі жүйесінде құруды қарастырады. Ол механизмдер мен машиналардың конструкцияларының түрлі айналмалы формаларын зерттеу кезінде қолданылады.

Проекциялатын түзу сызықтар төңірегінен бұру

Затты бұру арқылы осы заттың көптеген сызбаларын проекция жазықтықтарының бір негізгі жүйесінде құруға болады. Бірақ проекция жазықтықтары өзгеріссіз қалдырылады. Қарастырылып отырған зат проекция жазықтықтарына перпендикуляр осьтер төңірегінде бұру арқылы жаңа жағдайға әкеледі. Жаңа жағдайда оның ортогональдық проекциясы, яғни заттың сызбасы құрылады.

Проекция жазықтығына перпендикуляр осьтер төңірегінде нүктені бұруды эпюрде қарастырамыз. А нүктесі (112-сурет) көлденең проекция-ланатын і түзуінің төңірегінде бұрылады делік. А нүктесінің қозғалу траекториясы бұру осіндегі О орталықты шеңбер болып табылады. Шеңбердің Ф жазықтығы – көлденең және перпендикуляр бұру осі. Оны нүктені көшіру (қозғау) жазықтығы деп атаймыз.

АО радиусы А₁ O₁ нақты шамасында проекцияның көлденең жазықтығында проекцияланады. Осьтер төңірегінде бұру арқылы А нүктесінің біріккен проекцияларын анықтауға болады. А₁ көлденең проекциясы шеңбердің доғасы бойымен, ал фронтальды А₂ көлденең түзу бойымен – Фп₂ ізімен А нүктесінің алмастыру жазықтығымен ауыстырылады.

А₁ нүктесі А нүктесінің осьтер төңірегінде сағат тілі бағытына кері бағытта α бұрышына бұру арқылы анықталады.

А₂ нүктесі і түзу осі төңірегінде бұру арқылы Г фронтальды жазықтығымен бірігеді.

Графикалық есеп. Берілген А нүктесін і көлденең түзуі төңірегінде бұру арқылы Σ (a∩b) жазықтығына енгіземіз (113-сурет).

Шешуі. А нүктесі қозғалысының траекториясы Ф көлденең жазықтығындағы шеңбер болып табылады. Бұру орталығы болып О нүктесі болады. Ф жазықтығы берілген Σ жазықтығын доға көлденеңі бойымен А нүктесінің қоршауын және көлденең А₁ және А₂ екі нүктесінде қиылысады. Ол осы нүктелер А нүктесінің төңірегінде айналатын бастапқы жағдайын белгілейді.

Қандай да бір фигураны проекцияланатын түзу төңірегінде бұру осы фигураның нүктелерін бұруға апарады.

Ф фронтальды проекциялаушы жазықтыққа жататын АВС үшбұрышын нақты шамада анықтайық (114-сурет). Бұру осі – і фронтальды проекцияланатын түзуі – үшбұрыштың С төбесі арқылы өтеді дейік.

Үшбұрыш жазықтығын і осі төңірегінде бұра отырып, П₁ проекциясының көлденең жазықтығына параллель Ф жағдайына келтіреміз. Үшбұрыштың А және В төбелері осы нүктелер қозғалысының фронтальды жазықтықтарын анықтайтын қоршаудың доғал бойымен ауысады. Фп₂ ізі Ф жазықтығының біріккен ізі болып табылады.

А және В нүктесінің А₂ және В₂ біріккен фронтальды проекциясын анықтаймыз. Бұл нүктелердің А₁ және B₁ көлденең проекциялары, қозғалыс жазықтығының іздеріне сәйкес келетін олардың проекцияланған байланысы да анықталады. С нүктесі бұру осінде орналасады және өзінің бастапқы түрін өзгертпейді. Біріккен жағдайдағы АВС үшбұрышы A₁B₁C₁ және A₂B₂C₂ проекциялары арқылы беріледі. Көлденең A₁B₁C₁ проекциясы үшбұрыш көлемін қатесіз береді. Үшбұрыштың біріккен жағдайындағы К нүктесінің К₁ проекциясын ерікті түрде белгілейміз. Осы нүктенің негізгі (бастапқы) проекцияларын анықтау үшін, үшбұрыш жазықтығын бастапқы жағдайға келтіру керек. Барлық құрылыстар осыған ұқсас, бірақ кері ретімен орындалады.

Еркін жағдайдағы жазық фигураның нақты шамасы бір проекцияланатын түзу төңірегінде бұру арқылы анықталмайды. Проекцияланатын түзу төгірегінде бұрған кезде фигураны проекцияланатын жазықтың жағдайына әкеледі, содан кейін екінші проекцияланатын түзу төңірегінде бұрған кезде проекция жазықтығына параллель жағдайына әкеледі. Осы жазықтыққа фигура нақты шамамен проекцияланады.

Еркін орналасқан жазықтыққа жататын кез келген фигураны көлденең немесе фронтальды проекцияланатын жазықтық етіп қайта беруді келесі тәртіпте орындауға болады. Фигураны проекцияланған түзу төңірегінде бұра отырып, осы фигураның жазықтығы проекция жазықтығына перпендикулар болуы мүмкіндігін байқауға болады. Мысалы, АВС үшбұрышы жазықтығында (115-сурет) А₁ көлденеңін таңдай отырып және үшбұрышты көлденең проекцияланатын і түзуінің төңірегінде бұра отырып, фигура жазықтығының проекцияның көлденең жазықтығына еңіс бұрышы тұрақты болып қала береді, ал проекцияның фронтальды жазықтығына еңістің бұрышы өзгереді.

Фигура жазықтығы егер осы фигураның көлденең сызығы проекцияның фронталь жазықтығына перпендикуляр болса, онда ол проекцияның фронталь жазықтығына перпендикуляр. Көлденең проекцияланатын осі төңірегіндегі жазық фигураның бұрылу бұрышы осы жазықтық көлденеңінің бастапқы және соңғы жағдайлары арасындағы δ бұрышымен анықталады. Осы бұрышқа берілген үшбұрыштың В және С биіктігінің B₁ және C₁ проекциялары көлденең айналады. B₂ және C₂ фронталь проекциялар көлденең сызық бойымен В және С нүктелері қозғаласының жазықтықтары ізімен ауыстырылады.

АВС үшбұрышы A₁B₁C₁ және A₂B₂C₂ проекцияларының біріккен жағдайындағы түрінде көрінеді. Бұл жағдайда үшбұрыш жазықтығы фронтальды проекцияланатын Ф жазықтығы болып табылады. Проекция жазықтығына көлденең жазықтық бөлігінің еңіс бұрышы жазықтықтың проекция осі бағытына қарай Фп^І ізінің еңіс бұрышы арқылы анықталады.

Еркін жағдайдағы жазықтықты проекцияланатын жазықтыққа қайта беру арқылы, бұдан әрі қарай үшбұрыш өлшемін табуға арналған есепті шығарамыз. Үшбұрыштың төбесі арқылы өтетін j┴П₂ бұру осін таңдаймыз. АВС үшбұрышының фронтальды проекцияланатын Ф жазықтығын ось төңірегінде бұру арқылы көлденең жазықтық жағдайына әкелеміз. Бұл жағдайда АВС үшбұрышы нақты шамадағы П₁ проекциясының көлденең жазықтығына проекцияланады.

Еркін жазықтықта орналасқан фигураны көлденең проекцияланатын жазықтыққа алмастыруға болады, ол үшін оны проекцияның перпендикуляр фронталь жазықтығының осі төңірегінде бұру керек. Фигура жазықтығына фронтальды таңдаймыз. Фигураны фронтальды проекцияланатын түзу төңірегінде фронталь проекцияның көлденең жазықтығына перпендикуляр болатын жағдайға дейін бұру арқылы фигура жазықтығы проекцияның көлденең жазықтығына перпендикуляр екенін анықтаймыз. Ось төңірегіндегі жазық фигураның бұрылу бұрышы осы фигура фронталінің бастапқы және соңғы жағдайлары арасындағы бұрышы арқылы анықталады.

Еркін орналасқан жазықтықты фронтальды проекцияланатын жазықтық етіп қайта беру үшін, бұру осі етіп көлденең проекцияланатын түзуді алған дұрыс. Фигура оның көлденеңі П₂ проекциясының фронтальды жазықтығының бағытымен сәйкес келген жағдайға келтіріледі.

Еркін жағдайда орналасқан жазықтықты көлденең проекцияланатын жазықтық етіп қайта беру үшін бұру осі етіп фронтальды проекцияланатын түзуді алған дұрыс. Фигураны бұру арқылы оның фронталі П₁ проекциясының көлденең жазықтығының бағытымен сәйкес келетін жағдайға келтіріледі.