13. Позициялық және метрикалық есептер.

Инженерлік графика (сызба геометрия) пәні негізгі екі есептерді шешумен айланысады. Бұл есептерді позициялық (тұрғылықты) және метрикалық (өлшем) есептер деп атайды. Позициялық есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара орналасуын анықтайтын есептер. Позициялық есептер түрлеріне нүкте мен түзудің, түзу мен түзудің, нүкте мен жазықтықтың, түзу мен жазықтықтың, жазықтық пен жазықтықтың, жазықтық пен дене бетінің, екі дене бетінің өзара орналасу есептері жатады. Ал метрикалық есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын, олардың арасындағы бұрышы мен олардың ауданын, нақты шамасын т.с.с жағдайын анықтайтын есептер.

позициялық есептер

Егер позициялық есептер күрделі емес оңай есеп болса, онда есептің шешуін жалпы әдістердің көмегімен шығарады. Бұл параграфта кеңістіктегі нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасуы, кеңістіктегі түзу сызықтардың өзара орналасуы, кеңістіктегі екі жазықтықтың өзара орналасуы және кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары сияқты позициялық есептерді қарастырамыз.

Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары

Кеңістікте нүкте мен түзу сызық әр түрлі жағдайда кездесуі мүмкін. Кеңістікте орналасқан нүкте түзу сызық бойында орналасуы немесе түзу сызықтан тыс орналасуы мүмкін.

Енді осы тақырыпқа мысал ретінде 87-суреттегі нүктелер мен түзудің өзара орналасуларын қарастырайық. Суретте С және D нүктелері мен АВ түзу сызығының горизонталь және фронталь проекция жазықтығындағы эпюрасы берілген. Кеңістікте орналасқан D нүктесі АВ түзу сызығының горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіндерінің бойында жатқан нүкте, яғни D нүктесі АВ түзу сызығына тиісті немесе түзу бойында орналасқан нүкте. Ал енді С нүктесін қарастыратын болсақ, онда С нүктесінің фронталь проекциясы С₂ нүктесі АВ түзу сызығының фронталь проекция жазық-тығындағы кескін бойында емес тысқары орналасып жатыр. С нүктесінің горизонталь проекциясы С₁ нүктесі АВ түзу сызығының горизонталь проекция жазықтығындағы кескін бойында жатыр, яғни кеңістікте орналасқан С нүктесі АВ түзу сызығының сыртында тыс орналасқан түзу бойында жатпайтын нүкте.

Е гер нүкте кескіні түзу проекциясының бойында жатса, онда нүкте түзуге тиісті немесе бойында жатады.

Түзу сызықтардың өзара орналасулары

Түзу сызықтар кеңістікте өзара орналасуларына байланысты параллель, қиылысқан, айқасқан және перпендикуляр болып келеді.

Егер кеңістікте орналасқан екі түзу сызық параллель болса, яғни олардың горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары да өзара параллель орналасса, онда мұндай түзу сызықтар өзара параллель орналасқан түзу сызықтар дейді.

Мысал ретінде кеңістікте орналасқан АВ және СD түзу сызықтарын қарастырайық (88-cурет). Көлденең П₁ горизонталь проекция жазықтығында өзара параллель кескінделген А₁В₁ түзуі мен С₁D₁ түзу сызықтары берілген. Осы А₂В₂ және С₂D₂ түзу сызықтарының П₂ фронталь проекция жазықтығындағы проекциялары да өзара параллель орналасқан.

Ж оғарыда айтып кеткендей, егер екі түзу сызықтың горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары өзара параллель орналасса, онда мұндай түзу сызықтар өзара параллель орналасқан түзу сызықтар болады.

Егер кеңістікте орналасқан екі түзу сызықтың горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы проекция-лары өзара бір нүктеде қиылысса, онда мұндай түзу сызықтар өзара қиылысқан түзу сызықтар дейді.

Мысал қарастырайық (89-сурет). Көлденең П₁ горизонталь проекция жазықтығында өзара К₁ нүктесінде қиылысқан А₁В₁ және С₁D₁ түзу сызықтарының кескіні берілген. Ал П₂ фронталь проекция жазықтығында өзара қиылысқан А₂В₂ және С₂D₂ түзу сызықтарының кескіні К₂ нүктесінде қиылысқан. Егер бұл екі К₁ және К₂ нүктелері бір байланыс сызығының бойында жататын болса, онда бұл екі түзу сызық өзара қиылысып жатқан түзу сызықтар болады.

Е гер кеңістіктегі екі түзу сызықтың горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіндері өзара қиылысса, бірақ ортақ қиылысу нүктесі болмаса, онда мұндай түзулер өзара айқас түзулер деп аталады. Мысал ретінде 90-cуретте орналасқан түзу сызықтарды қарастырайық. Горизонталь П₁ проекция жазықтығында кескінделген өзара L₁ және K₁ нүктелерінде қиылысып жатқан А₁В₁ түзуі мен С₁D₁ түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысу нүктелері эпюрдің фронталь П₂ проекция жазықтығында L₂ нүктесінің проекциясы А₂В₂ түзу сызығында жатса, ал K₂ нүктесі С₂D₂ түзу сызығының бойында жатады. Ал эпюрдің фронталь П₂ проекция жазықтығында өзара P₂ және Q₂ нүктелерінде қиылысқан А₂В₂ және С₂D₂ түзу сызықтарының кескіні көрсетілген. Мұнда да P₁ және Q₁ нүктелері С₁D₁ және А₁В₁ түзу сызықтарының бойында жатады, яғни қиылысып жатқан түзулер бір ортақ нүктесі жоқ айқасып жатқан түзулер.

Ескерту, кей жағдайда өзара айқас түзулердің бір кескіні өзара параллель болып та келеді, бірақ келесі кескіні міндетті түрде қиылысуы қажет.

Екі жазықтықтың өзара орналасуы

Кеңістікте жазықтықтар өзара орналасуларына байланысты түзу сызықтар сияқты өзара параллель және киылысқан болып келеді. Егер кеңістікте орналасқан екі жазықтықтың проекция жазықтық-тарындағы іздері өзара параллель болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара параллель жазықтықтар деп атайды.

91-суретте Р және Q жазықтықтарының іздері арқылы берілген кескіндері көрсетілген. Суретте көрсетілгендей бұл екі жазықтықтардың горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы іздері өзара парал-лель, яғни кеңістікте орналасқан екі жазықтық өзара параллель орналасқан жазықтықтар.

Ескерту, егер кеңістікте орналасқан екі жазықтық үшбұрыш немесе төртбұрыш арқылы берілсе, онда бұл көпбұрыштарды проекция жазық-тықтарына дейін созып, іздерін анықтап алған қолайлы.

Егер кеңістікте орналасқан екі жазықтықтың проекция жазықтық-тарындағы іздері өзара қиылысатын болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара қиылысқан жазықтықтар деп атайды (92-сурет).

92-суретте кеңістікте қиылысып жатқан Р және Q жазықтықтарының горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы іздерімен берілген кескіндері көрсетілген. Горизонталь проекция жазықтығындағы Р₁ және Q₁ жазықтықтарының іздері М₁ нүктесінде қиылысады. Ал фронталь проекция жазықтығындағы Р₂ және Q₂ іздері N₂ нүктесінде қиылысып жатыр. Егер табылған М₁ мен N₁ нүктелерін және М₂ мен N₂ нүктелерін өзара қоссақ, онда бұл түзу сызықтар екі жазықтықтың қиылысу сызығын береді.

Е нді келесі 93-суретте кеңістікте қиылысып жатқан АВС үшбұрышты және EDFG төртбұрышты жазықтықтардың горизонталь және фронталь проекциялары берілген. Екі жазықтық та жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтар. Осы жазықтық-тардың қиылысу сызығын анықтау үшін, алдымен жазықтықтардың екі қырынан проекцияланушы жазықтық деп алып, жазықтық пен түзудің екі қиылысу нүктесін анықтап, өзара осы нүктелерді қосып қиылысу сызығын анықтаймыз. Фронталь проек-ция жазықтығындағы АВС үшбұрышының АВ қырынан Р проекцияланушы жазық-тығын жүргізсек, ал АС қырынан Q проекцияланушы жазықтығын жүргіземіз. Фронталь проекция жазық-тығында Р проекцияланушы жазықтығы EDGF төртбұ-рыштың қырларын 1 және 2 нүктелерінде қиып өтеді. Ал Q проекцияланушы жазық-тығы EDGF төртбұрыштың қырларын 3 және 4 нүктелерінде қиып өтеді. Бұл табылған нүктелерді гори-зонталь проекция жазықтығына байланыс сызықтарының көмегімен түсіріп, 1₁, 2₁ және 3₁, 4₁ нүктелерін табамыз. Осы нүктелерді өзара қоссақ, бұл сызықтар АВ қырын К нүктесінде, АС қырын N нүктесінде қиып өтеді.

Егер осы табылған нүктелерді горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарында өзара қоссақ, онда табылған түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болады.

Енді кеңістікте қиылысып жатқан АВС үшбұрышы мен EDFG төртбұрышының горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарында жазықтықтардың көрінетін немесе көрінбейтін жақтарын анықтаймыз. Ол үшін горизонталь проекция жазықтығында бәсекелесіп тұрған 5 пен 6 нүктелерін белгілеп алып, осы нүктелердің фронталь проекция жазықтығындағы кескінін табамыз.

Осы кескінделген нүктелердің қайсысы бірінші тұрса, горизонталь проекция жазықтығында сол нүкте немесе сол қыр көрінетін болады. Міне осындай жолмен фронталь проекция жазықтығында да көрінетін жағын анықтап аламыз (93-сурет).

Түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары

Түзу сызық пен жазықтық кеңістікте өзара меншікті (жазықтық бойында жатады), параллель, қиылысатын және перпендикуляр болып кездеседі. Төменде осы жағдайларға мысал қарастырайық.

Е гер түзу сызықтың екі нүктесі жазықтық бойында жатса, онда мұндай түзу сызық жазықтыққа меншікті болады. Мысалы 94-суретте бірінші ширекте орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан DE түзу сызығы берілген. Түзудің АВС жазықтығында орналасқанын анықтау үшін, түзу сызықты жазықтық қырларына қиылысқанға дейін созып, қиылысу нүктелерін анықтаймыз. Осы нүктелердің горизонталь және фронталь проекция жазықтықтарындағы проекцияларын байланыс сы-зықтарының көмегімен табамыз.

Егер DE түзу сызығы осы табылған горизонталь және фронталь проекция жазық-тықтарындағы түзулер бойында жататын болса, онда бұл DE түзу сызығы АВС жазықтық бойында жатады немесе түзу сызық жазықтыққа меншікті болады.

9 5-суретте кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан DE түзу сызығының П₁ горизонталь және П₂ фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары берілген. Горизонталь проекция жазықтығында А₁В₁С₁ жазықтығы мен осы жазықтық бойында жатқан D₁E₁ түзу сызығының проекциясы берілген. Бұл D₁E₁ түзу сызықты жазықтықтың А₁В₁ және В₁С₁ қырларына дейін созамыз. Байланыс сызықтарының көмегімен П₂ фронталь проекция жазықтығындағы А₂В₂С₂ жазықтығының А₂В₂ және В₂С₂ қырларына қиып өткен нүктелерін өзара қосамыз. Осы түзу сызық бойынан байланыс сызығының көмегімен D₂E₂ түзу сызықты табамыз. DE түзу сызығы АВС жазықтығының бойында орналасқан түзу сызық.

Егер кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен DE түзу сызығы жоғарыда айтқан қағидаларға сай келмесе, онда мұндай түзу сызықтар жазықтыққа параллель, қиылысқан немесе перпен-дикуляр орналасады.

К еңістікте орналасқан жазықтыққа меншікті түзу сызыққа екінші бір кеңістікте орналасқан түзу сызық параллель болса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель түзу болады. Мысал ретінде 96-cуретті қарастырайық. Суретте кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан KL түзу сызығының П₁ горизонталь және П₂ фронталь проекция жазықтықтарындағы проек-циялары берілген. Егер жазықтыққа меншікті KL түзу сызығының горизонталь және фронталь проекция жазықтығындағы проекциялары D₁E₁ және D₂E₂ түзу сызық проекцияларына параллель орналасса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель түзу болады.

Е гер түзу сызық жазықтыққа меншіксіз немесе жазықтыққа параллель болмаса, онда мұндай түзу сызықтар жазықтықпен қиылысатын түзулер болып бір ғана қиылысу нүктесі болады (97-сурет).

Жазықтықпен түзу сызықтың қиылысуына келесі мысалды қарастырамыз. 97-суретте кеңістікте орналасқан жалпы жағдайда орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықпен қиылысатын DE түзу сызығының П₁ горизонталь және П₂ фронталь проекция жазықтық-тарындағы проекциялары берілген. Кеңістіктегі жазықтық пен түзу сызықтың қиылысу нүктесін табу үшін DE түзу сызығының фронталь проекция жазықтығындағы проек-циясы арқылы Р фронталь проек-циялаушы жазықтығын жүргіземіз. Бұл Р жазықтығын жүргізіп отырған себебіміз, екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтау. Осы қиылысу сызығын табу үшін, Р фронталь проекциялаушы жазықтығын АВС жазықтығының фронталь проекциясының А₂В₂ және В₂С₂ қырлары мен 1₂ және 2₂ қиылысу нүктелерін анықтаймыз. Байланыс сызығының көмегімен осы нүктелерді горизонталь проекция жазықтығына түсіріп, жазықтықтың А₁В₁ және В₁С₁ қырларымен қиылысқан 1₁ және 2₁ нүктелерін табамыз. Бұл табылған 1₁ және 2₁ нүктелерін өзара қосып, екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтаймыз. Енді осы табылған қиылысу сызығын берілген D₁E₁ түзу сызығын К₁ нүктесінде қиып өтіп, жазықтық пен түзу сызықтың қиылысу нүктесін береді (97-cурет).

Осы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық пен түзу сызық өзара қиылысып эпюрде көрінетін және көрінбейтін жақтары болады. Жазықтық пен түзу сызықтың мұндай жақтарын анықтау үшін, жазықтық пен түзудің бәсекелес нүктелерін анықтау қажет. Ең алдымен фронталь проекция жазықтығындағы жазықтық пен түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын анықтау үшін, 1₂ және 3₂ бәсекелес белгілеп алып, байланыс сызығының көмегімен горизонталь проекция жазықтығына түсіреміз. Бұл нүктелер бәсекелес нүктелер болғандықтан, 1₁ нүктесі жазықтықтың А₁В₁ қырында жатса, ал 3₁ нүктесі D₁E₁ түзу сызығының бойында жатады. Осы табылған нүктелерді төмен жағынан қарайтын болсақ (97-cуретте жуан жебе сызығымен көрсетіп қойған), онда 1₁ нүктесі бірінші тұр. Фронталь проекция жазықтығында АВС жазықтығының А₂В₂ қыры көрінеді, ал D₂E₂ түзуінің 3₂ нүктесі мен К₂ нүктелерінің аралары көрінбейді.

Горизонталь проекция жазықтығындағы жазықтық пен түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын бәсекелес 4₁ және 5₁ нүктелері арқылы анықтаймыз. Бұл анықталу жолы жоғарыда көрсетілген жолмен анықталады.

К елесі қарастыратын мысал - жазықтыққа перпендикуляр түзу сызық жүргізу (98-сурет). 98-суретте кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан D нүктесі берілген. Жазықтыққа осы жазықтық бойында орналасқан D нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргізу үшін, жазықтықтың деңгей горизонталь (h) және фронталь (f) сызықтарын жүргіземіз. D нүктесінің горизонталь проекциясы D₁ нүктесі арқылы горизонталь проекция жазықтығындағы фронтальға перпен-дикуляр түзу жүргізіп, Е₁ нүктесімен шектеп қоямыз. Осы сияқты D нүктесінің фронталь проекциясы D₂ нүктесі арқылы фронталь проекция жазықтығындағы горизонтальға перпендикуляр түзу жүргізіп, D₂Е₂ түзу сызығын табамыз. Бұл табылған DЕ түзу сызығы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВС жазықтығына перпендикуляр түзу болып табылады.

Енді осы жалпы жағдайда орналасқан АВС жазықтығына перпендикуляр түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын жоғарыдағы мысалда көрсетілген тәсілмен анықтайды.

Метрикалық есептер

Егер шығаратын метрикалық есептер оңай есеп болса, онда есепті шешуін жалпы әдістердің көмегімен шығарады. Осыған байланысты бұл параграфта кеңістіктегі орналасқан түзу сызықтың нақты шамасы мен түзудің проекция жазықтықтарына жасайтын бұрыштарын, нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығы сияқты метрикалық есептерге мысалдар қарастырамыз.

Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы

Монж эпюрінде немесе тікбұрышты проекциялаушы жазықтықтар жүйесінде кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзу сызықтың горизонталь, фронталь және профиль проекциялары бұрмаланып, түзу сызық проекциялары ұзын немесе қысқа болып кескінделеді.

Эпюрде жалпы жағдайда берілген түзу сызықтың нақты шамасын (ұзындығын) табу үшін, мектеп қабырғасынан белгілі тікбұрышты үшбұрыштар әдісін пайдаланамыз.

Мысал ретінде жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының А₂В₂ фронталь және А₁В₁ горизонталь проекцияларын алайық (99-сурет). А₁В₁ түзуінің В₁ нүктесінен горизонталь деңгей түзуін жүргіземіз. Бұл деңгей түзуі А₁ нүктесінен жүргізілген байланыс сызығын 1₁ нүктесінде қиып өтеді. Осы нүкте мен А₁ нүктелерінің ара қашықтығын өлшеп аламыз. Бұл ара қашықтықты, фронталь проекция жазықтығында орналасқан А₂В₂ түзуінің А₂ төбесінен жүргізген перпендикуляр бойына өлшеп саламыз. Бұл перпендикуляр бойынан табылған нүктені А₂^/ деп белгілейміз. Егер табылған А₂^/ және В₂ нүктелерін өзара қоссақ, онда жүргізілген түзу сызық ұзындығы түзудің нақты шамасы шығады.

Енді жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының горизонталь проекция жазықтығына жасайтын бұрышын анықтайық. Табылған түзу сызықтың нақты шамасы мен түзудің фронталь проекциясы А₂В₂ түзуінің арасындағы бұрышы түзудің жазықтыққа жасайтын бұрышы болып табылады (99-сурет).

Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығы

Жоғарыда айтып кеткендей, метрикалық есептер геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын анықтайтын есептерді айтады.

Енді нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға мысал ретінде 100-суретті қарастырайық. Суретте кеңістікте орналасқан D нүктесі мен жалпы жағдайда орналасқан АВC жазықтығы берілген.

Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтау үшін, жазықтыққа D нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр түзу сызықты жалпы жағдайда орналасқан АВC жазықтығының горизонталь және фронталь деңгей сызықтарына түсіреміз. Суретте көрсетілгендей кеңістіктегі D нүктесінің фронталь проекциясы D₂ нүктесінен фронталь проекция жазықтығындағы горизонтальға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Ал горизонталь проекциясы D₁ нүктесінен фронтальға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Осы жүргізген перпендикуляр түзу сызық арқылы горизонталь проекцияланушы Р жазықтығын жүргіземіз. Бұл Р проекцияланушы жазықтық жалпы жағдайда орналасқан АВC жазықтығының горизонталь проекциясын 1₁ және 2₁ нүктелерінде қиып өтеді. Байланыс фсызықтарының көмегімен осы нүктелердің фронталь 1₂ және 2₂ нүктелерін фронталь проекция жазықтығында тауып, өзара қосамыз.

Б ұл 1₂2₂ түзу сызығы D₂ нүктесінен жүргізген түзу сызықпен К₂ нүктесінде қиып өтеді. Байланыс сызығының көмегімен К₂ нүктесінен горизонталь проекция жазық-тығында орналасқан 1₁2₁ түзу сызығының немесе D₁ нүктесінен жүргізген түзуді К₁ нүктесінде қиып өтеді.

Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысқанда көрінетін және көрінбейтін жағын анықтау керек. D₁К₁ түзу сызығы мен А₁В₁ түзу сызығының бәсекелес 2₁3₁ нүктелерін анықтап, фронталь проекция жазықтығындағы осы түзулер бойынан 2₂3₂ нүктелерін тауып аламыз. Егер жоғары жағынан қарасақ, онда 3₂ нүктесі бірінші болып кездеседі, яғни D₁К₁ түзу сызығы көрінеді, ал А₁В₁ түзу сызығы көрінбейді. Осындай жолмен фронталь проекция жазықтығындағы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысқанда көрінетін және көрінбейтін жағы анықталады.

Сонымен бұл табылған К нүктесі кеңістікте орналасқан D нүктесі мен жалпы жағдайда орналасқан АВС жазықтығына дейінгі ара қашықтық болып табылады. Бұл нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығының нақты шамасын анықтау үшін 100-суретте көрсетілгендей, тікбұрышты үшбұрыштар әдісін пайдаланамыз. Ол үшін горизонталь проекция жазықтығында орналасқан К₁ нүктесінен деңгейлік түзу жүргіземіз. Бұл жүргізген түзу D₁ нүктесінен шыққан байланыс сызығын Е₁ нүктесінде қиып, D₁Е₁ ара қашықтығын белгілейміз. Белгіленген ара қашықтықты өлшеп алып, фронталь проекция жазықтығындағы D₂ нүктесінен D₂K₂ түзуіне перпендикуляр жүргізіп, D₂^/ нүктесін табамыз (100-сурет). Егер табылған D₂^/ нүктесімен K₂ нүктелерін өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан DК түзу сызығының нақты шамасын табамыз.

14. турлендіру тәсілдері. Графикалық есептерді шешу кезінде берілген ортогональдық сызба көп жағдайда нәрсе мен оны жеке элементтері жөнінде көрнекі ұғым бере алмайды, позициялық және метрикалық есептерді шешу кезінде оңай бола алмайды. Кейде берілген есептің шешуі болуы мүмкін немесе оны жеңілдету нәтижесі болуы мүмкін қосымша сызбаларды құруға тура келеді. Бұндай қосымша сызбалар проекция жазықтықтарын алмастыру әдісі арқылы құруға болады. Бірақ зат кеңістікте ось қалпын сақтайды. Проекция жазықтықтарының бағытын өзгертеді: алмастыру кезінде проекцияның екі жазықтығының өзара перпендикулярлығы міндетті түрде сақталады.

101-суретте проекция жазықтықтарының кеңістіктік бейнесі және П₁ және П₂ жазықтығындағы А₁ және A₂ ортогональдық проекциялары бар А нүктесі берілген. П₁ көлденең жазықтығымен қосымша П₄ тік жазықтығы, П₁ перпендикуляр жазықтығы проекция жазықтықтарының қосымша жүйесін құрайды. Сол сияқты П₄ жазықтығындағы А нүктесінің A₄ қосымша проекциясының да құрылысы көрсетілген. П₁ проекциясының жазықтығы екі жүйеге негізгі П₂ / П₁ және қосымша П₄ / П₁ ортақ болып табылады.

А нүктесі мен П₁ жазықтығының ара қашықтығы бірінші мен екінші жүйелерде де бірдей, яғни Z_A аппликаты мен А₂ нүктесінің А₁ көлденең проекциясы екі жүйе үшін де өзгермеген күйінде қалады.

Проекция жазықтығының бір жүйесінен екіншісіне өтуді ортогональдық сызбадан да оңай қадағалауға болады (102-сурет). А нүктесі А₁ және А₂ проекцияларымен П₂ / П₁ проекция жазықтықтарының жүйесінде берілген. Қосымша құрылған проекциялаушы П₄ жазықтығының проекция осі сызбада П₂ / П₁ проекция жазықтықтарының қосымша жүйесін айқындайды.

П ₁ жазықтығындағы А нүктесінің A₄ жазықтығы тура (проекциялық байланыс сызығы), қосымша перпендикуляр осьтен Z_A қашықтығында одан А нүктесінен П₁ проекциясының көлденең жазықтығына дейінгі қашықтықта орналасқан. Z_A көлемі негізгі сызбадан белгілі болады.

102, 103-суреттерде проекция жазықтығының қосымша жүйесін П₂ және П₄ екі өзара перпендикуляр жазықтықтар анықтайды.

Проекцияның бір жазықтығын алмастыру көп жағдайда берілген есептің ақырғы шешімін бере алмайды. Кейде проекцияның екі немесе одан да көп жазықтықтарын алмастыруға тура келеді.

Проекцияның қосымша жазықтықтары проекция жазықтықтарын өзгертетін есептің шарттарынан таңдалады.

Егер проекцияның қосымша жазықтықтығы түзу кесіндіге немесе жазық фигураға параллель болса, онда мұндай кесінді (жазық фигура) осы проекция жазықтығында бастапқы көлемін өзгертпей проекцияланады.

Үшбұрыш күйінде берілген проекцияланатын жазықтықтың жазық фигурасының нақты көлемін анықтаймыз (104-сурет). АВС үшбұрышы Q проекцияланатын жазықтықта жатсын делік. Үшбұрыш жазықтығына параллель П₃ проекцияның қосымша жазықтығын таңдаймыз және А, В және С үшбұрышының A₄, В₄ және С₄ биіктіктерінің қосымша проекцияларын анықтаймыз.

A₄В₄С₄ проекциясы АВС үшбұрының бастапқы көлемде көрсетеді. М нүктесінің М₄ проекциясы үшбұрыш жазықтығында өз бетінше таңдалды. 104-суретте бұл нүктенің М₁ және М₂ негізгі проекцияларының құрылысы көрсетілген.

Егер жазық фигура проекцияның негізгі координаттық жазықтықтарына қатысты өздігінен (жалпы) орналасса , онда оның көлемін кейінгі екі проекция жазықтықтарын алмастырудың көмегімен анықтайды. Негізгі сызбаға қосымша тағы да екі жазық фигура сызбасы құрылады.

Бірінші қосымша сызба арқылы проекцияланатын жазықтықта орналасқан фигура туралы елестетуге болады; екінші қосымша сызба жазықтықта, проекцияның параллель жазықтында орналасқан, және оның нақты көлемін анықтайтын фигура туралы түсінік береді.

Еркін орналасқан жазықтық сызбасын проекцияланатын жазықтыққа қайта алмастыру кезінде осы жазықтықта ең басты сызықтардың бірін – әрқайсысы проекцияның қосымша жазықтықтарының бағытын айқындайтын көлденең немесе фронталь сызықтарын таңдау керек. Еркін жағдайдағы жазықтықты проекцияланатын жазықтыққа алмастыру кезінде П₁ және П₂ проекция жазықтықтарының берілген жазықтықтың α бұрыштары мен β көлбеуін анықтайды.

Егер үшбұрыш көлденеңі проекция қосымша жазықтығының бағыты болса, онда үшбұрын осы проекция жазықтығына перпендикуляр, яғни проекцияланатын жазықтық орнын алады. Бұндай жағдайда П₁ проекция жазықтығының көлбеу жазықтығының α бұрышы анықталады.

Егер үшбұрыш фронталі проекция қосымша жазықтығының бағыты болса, онда үшбұрыш осы проекция жазықтығына перпендикуляр және проекцияланатын жазықтық қатысты орын алады. Бұндай жағдайда П₂ проекция жазықтығының фронталь жазықтығының β бұрышы анықталады.

Е ркін жағдайдағы жазық фигура проекцияның қосымша жазықтығына қатысты проек-циялану түрінде көрінетін қосымша сызбаның графикалық құрылысын қарастырайық. Еркін орналасқан жазықтық бөлігі АВС үшбұрышы түрінде берілсін (105-сурет). А биіктігі арқылы фронталь жүргіземіз. Сызбада Af фронталінің A₂В₂ фронтальді проекциясы проекцияның қосымша жазықтығына қарай проекциялау бағытын көрсетеді.

Af фронталіне перпенди-куляр П₄ проекциясының қосымша жазықтығын таңдаймыз. С нүктесінің проекциялау бағытында (байланыс сызығы) оның С₄ қосымша проекциясын белгілейміз және байланыс сызығына перпендикуляр етіп есептеудің негізгі сызығын жүргіземіз. В және С нүктелерінің у_в-у_с координаттарының айырмасын белгілейміз де, В нүктесінің В₄ қосымша проекциясын анықтаймыз. Осыған ұқсас, А және нүктелерінің у_А-у_с координаттарының айырмасын белгілеп, А нүктесінің A₄ қосымша проекциясын анықтаймыз.

А, В және С нүктелерінің A₄, В₄, С₄ проекциялары бір түзуде орналасқан және П₃ проекциясының қосымша жазықтығына қатысты проекциялаушы болып табылатын үшбұрыштың жазықтық ізінің орнын анықтайды. Бұл жазықтық көлбеуінің α бұрышының айырмасының негізгі сызығына қарай бағыты П₂ проекциясының фронталь жазықтығына қатысты үшбұрыш жазықтығы көлбеуінің бұрышы болып табылады.

Е ркін жағдайдағы АВС үшбұрышының нақты өлшемін анықтауға арналған графикалық құрылымды көрсетейік (106-сурет). Есеп екі дүркін проекция жазықтықтарын алмастыру арқылы шешіледі. П₂ проекциясы фронтальды жазықтығын қосымша проек-цияланушы П₄ проекция жазықтығымен алмастырамыз. Егер П₄ жазықтығының бағыты жазық фигураның көлденең болса, фигура проекцияланатын жазықтыққа қайта салынады. В биіктігі арқылы өтетін үшбұрыш көлденеңі П₄ проекциясының қосымша жазықтығының бағытын айқындайды.

П₄ жазықтығында біз көлденең мен үшбұрыштың құлдыраған проекциясын аламыз. Көлденең нүктеге проекцияланады, ал үшбұрыш түзу кесіндісіне проекция-ланады.

П₁ проекциясының көлденең жазықтығын фигураның параллель жазықтығы П₄ қосымша жазықтығымен алмастыра отырып, фигураның П₄ жазықтығындағы нақты көлемді бейнесін аламыз.

1-графикалық есеп. К нүктесі мен ab түзуіне дейінгі ара қашықтықты анықтау (107-сурет).

Шешуі. Нүкте мен түзуге дейінгі ара қашықтықты нүктеден түзуге дейін түсірілген перпендикуляр кесінді арқылы анықтаймыз. ab түзуі проекцияның біз жазықтығына қатысты болып табылатын проекция жазықтығының жүйесін таңдау қажет. Бұл жағдайда М нүктесінен осы сияқты түзуге түсірілген перпендикуляр кесінді проекция жазықтығымен параллель және осы жазықтыққа нақты көлеммен проекцияланады.

Еркін қалыптағы ab перпендикуляр түзуінің проекция жазықтығын таңдау үшін, проекция жазықтығын екі дүркін алмастыру қажет. проекциясының жазықтықтар жүйесінде ab түзуінің кесіндісі П₃ проекциясының жазықтығына параллель және осы жазықтыққа нақты көлемде проекцияланады. П₄ / П₅ проекциясының жазықтықтар жүйесінде ab түзуінің кесіндісі П₄ проекциясының жазықтығына параллель және осы жазықтыққа нүкте түрінде проекцияланады.

Осы жазықтықта сәйкес құрастырулар арқылы берілген М нүктесінің М₄ проекциясын анықтаймыз. М₄ проекциясы М нүктесінен ab түзуіне дейінгі ара қашықтықтың нақты көлемін көрсетеді. Перпердикулярдың М₁1₁ және М₂1₂ проекциялары негізгі проекция жазықтықтары жүйесінде тиісті құрылымдар арқылы соңғы проекция жазықтықтары жүйесінен бастапқы (негізгі) жүйеге ауыса отырып анықтаймыз.

2-графикалық есеп. ab және cd параллель түзілерінің ара қашықтығын анықтау (108-сурет).

Шешуі. Есепті проекция жазықтықтарын алмастыру әдісімен шешу үшін, қосымша жүйенің проекциясы жазықтықтарының бірі берілген түзуге перпендикуляр болуы керек. Оларға перпендикуляр түзудің жазықтықтағы проекцияны нүктеге өзгереді. Олардың ара қашықтығын түзулер арасындағы қашықтық анықтайды.

Эпюрда берілген (108-сурет) мұндай есеп проекция жазықтығын екі рет алмастыру арқылы шешіледі. Бірінші қосымша жүйенің проекция жазықтықтарының бірі түзулерге параллель, ал екінші қосымша жүйенің проекциясының жазықтығы осы түзулерге перпендикуляр.

ab және bc түзуіне параллель П₃ жазықтығын таңдай отырып, олардың a₄ b₄ және b₄ c₄ қосымша проекцияларын анықтаймыз. Түзуге перпендикуляр П₄ жазықтығын таңдай отырып, олардың a₅ b₅ және c₅ d₅ проекцияларын анықтаймыз. П₅ жазықтығында түзулер нүктеге проекцияланады.

Бір түзудің кез келген нүктесінен екіншісіне түсірілген перпендикуляр кесіндісі П₃ проекциясының жазықтығына бұрмалаусыз проекцияланады. Ол және де түзулер ара қашықтығын анықтайды. Перпендикуляр кесіндісінің m₄ n₄ жаңа проекциясын белгілей отырып, қайта құрастыру арқылы оның негізгі m₁ n₁ және m₂ n₂ проекциясын табамыз.

3-графикалық есеп. К нүктесінен АВС үшбұрышына жазықтығына дейінгі ара қашықтықты анықтау (109-сурет).

Н үкте мен жазықтықтың ара қашықтығы нүктеден осы жазықтыққа түсірілген кесінді көмегімен анықталады. П₃ проекциясының жазықтығын, АВС перпендикуляр жазықтығын таңдаймыз. Белгілі графикалық әдісі бойынша A₄, В₄, С₄ қосымша проекциясын – үшбұрыш жазықтығының ізін және М нүктесінің М₄ проекциясын анықтаймыз.

М₄ проекциясынан перпендикулярды жазықтық ізіне түсіре отырып, М нүктесінен бастап жазықтыққа дейінгі ізделіп отырған қашықтыққа тең М₄ 1₁ кесіндісін табамыз. Кері тәртіппен құру арқылы М₁ кесіндісінің М₁ 1₁ және M₂ 1₂ проекциясын П₂/П₁ проекциясы жазықтығының негізгі жүйесінде анықтаймыз.

4-графикалық есеп. Σ₁ және Σ₂ іздерімен берілген Σ жазықтығы бар ЕҒ профильді түзуінің қиылысу нүктесін табу (110-сурет).

Шешуі. П₄П₁ проекциясы жазықтықтарының қосымша жүйесін таңдаймыз, бұл жерде берілген Σ жазықтығы П₃ жазықтығына қатысты проекцияланушы болып табылады. П₄ проекциясы жазықтығының бағыты етіп Σ көлденең жазықтығын аламыз, яғни көлденең із Σп’. Σп’ көлденеңіне қарай түзу бұрыштың астынан өтетін П₁ / П₄ проекциясының осін белгілейміз. П₄ проекциясында Σп₄ ізін және ЕҒ түзуінің Е₄ Ғ₄ проекциясын анықтаймыз.

Е₄ Ғ₄ проекциясы Σп₄ ізімен К₄ нүктесінде қиылысады. К нүктесінің K₁ және K₂ негізгі проекциясын анықтаймыз. K₁ көлденең проекциясының қиылысу сызықтары қосымша байланысу сызығында және E₁ F₁ көлденең проекциясында анықталады.

K₂ фронталь проекциясы сәйкес көлденең жазықтықтың фронталь проекциясына жатады.

5-графикалық есеп. АВС үшбұрышы мен EDFK төртбұрышы түрінде берілген екі жазық фигураның қиылысу сызығын құрастырамыз және олардың проекциядағы көрінісін анықтаймыз (111-сурет).

Шешуі. Көпбұрыштың қосымша сызбасын, мысалы АВС үшбұрышы проекциялаушы болатындай етіп құрамыз. Үшбұрыштың А₁ горизонталі П_ң проекциясының қосымша жазықтығының бағытын көрсетеді. A₄В₄С₄ және Е₄ D₄F₄K₄ көпбұрыштарының проекцияларын анықтаймыз. Және де АВС үшбұрышының A₄В₄С₄ проекциялары түзу сызықтың кесіндісі түрінде бейнеленеді. Бұл үшбұрыш жазықтығының оған перпендикуляр П₄ проекциясы жазықтығының ізі болады. Екі көпбұрыштың жазықтықтары түзу сызықтың бойымен қиылысады. Бұл сызықтың проекциясының біреуі үшбұрыш жазықтығының ізіне – П₄ проекциясының қосымша жазықтықтығы АВС үшбұрышының проекциясына жатады.

M₁N₁ және M₂N₂ негізгі проекцияларының жазық фигураларының қиылысу сызығы кері тәртіппен құру арқылы анықталады. П₁ және П₂ проекция жазықтығына қатысты көпбұрыштар жағының көрінісін бәсекелес нүктелер әдісімен стрелканың бағыты бойынша анықтаймыз.