18. Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Нехай
у точках
(і=0,1,...,n)
(
якщо
)
задано
значення
функції f
:
(i
= 0,1, …,n).
Треба побудувати многочлен
степеня
п,
який
у вузлах
(і=0,1,...,n)
набуває тих самих
значень, що й функція f,
тобто
(і=0,1,...,n).
Шукатимемо
інтерполяційний многочлен
у такому вигляді:
де
коефіцієнти
(i
= 0,1, …,n)
невідомі.
Кожний доданок виразу є
многочленом степеня n,
причому при кожному з коефіцієнтів
(i
= 0,1, …,n)
множника
немає.Визначимо
коефіцієнти
(i
= 0,1, …,n),
використавши умову (1).
Поклавши
в (2)
x
- х0,
дістанемо
,звідки
.Якщо
в (2)
покласти
,
то
,а
отже
.Аналогічно
обчислюємо
(i
= 0,1, …,n)
Підставивши
ці значення коефіцієнтів
(i
= 0,1, …,n)
в (2),
дістанемо
вираз інтерполяційного многочленна
.
Многочлен
виду
(3)
називають
інтерполяційним
многочленом Лагранжа,
а
наближену рівність
(4)
—
інтерполяційною
формулою Лагранжа.
Інтерполяційний
многочлен Лагранжа можна записати
компактніше. Для
цього введемо многочлен
n+1-го
степеня виду
Продиференціювавши
по х
цей
добуток, дістанемо:
Поклавши
тут
(i
= 0,1, …,n),
матимемо
.
Підставивши
знайдемо
.
Вираз
, (i
= 0,1, …,n)
,
що є коефіцієнтами при
(i
= 0,1, …,n)
у
многочлені Лагранжа, називають
коефіцієнтами
Лагранжа.
Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа (4).
1.
Нехай n=1,
тобто значення функції f
задано в двох вузлах
і
.Позначимо
ці значення
і
.
Тоді
з формули (4) дістанемо
. (8)
Формулу
(8) називають формулою
лінійного інтерполювання.
При
лінійному інтерполюванні дуга кривої
у=f(x)
на
відрізку
замінюється відрізком прямої (8), що
лежить між точками
і
.
2. Нехай n=2. Функцію f задано в трьох вузлах (і = 0, 1, 2) значеннями (і = 0, 1, 2) У цьому разі формула (3) набирає вигляду
.(9)
Формулу
(9)
називають формулою
квадратичного інтерполювання.
При
квадратичному інтерполюванні дуга
кривої у=f(x)
на
відрізку
замінюється дугою параболи, що проходить
через точки
(і
=
0,
1, 2).
19. Інтерполяційний многочлен Ньютона
Нехай
функція
задана таблицею зі сталим кроком h:
Складемо для цієї функції інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції
вперед (5.33):
де
Диференціюючи цей многочлен по змінній х, одержимо:
20. Наближене обчислення похідних.
Нехай функція задана таблицею зі сталим кроком h: Складемо для цієї функції інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції вперед: де
Диференціюючи цей многочлен по змінній х, одержимо:
і т.д.
Приймаючи
і
т.д., отримаємо формули для наближеного
обчислення похідних будь-якого порядку.
Запишемо ці формули для похідних першого
та другого порядків:
(6.10)
(6.11)
З
формул (6.10) та (6.11) при
отримуємо формули для обчисленій
похідних
та
у вузлі
:
(6.12)
(6.13)
Зауважимо, що за формулами (6.12) і (6.13) можна обчислювати значення та в інших вузлах лівої частини інтервалу зміни аргументу х, оскільки кожний такий вузол можна вважати початковим.
Складемо для заданої функції інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції назад (5.35):
де
Аналогічно, як і у попередньому випадку, отримаємо формули для наближеного обчислення похідних в точках, які містяться в правій частині інтервалу зміни аргументу х:
(6.14)
(6.15)
При з формул (6.14) та (6.15) одержуємо:
(6.16)
