13. Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта.

14. Метод Рунге-Кутта є методом підвищеної точності.Нехай потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння (8.1), який задовольняє початкову умову (8.2). Як і за методом Ейлера, будемо розглядати відрізок , який поділимо на п рівних часткових відрізків точками .В колі точки представимо шуканий розв'язок задачі Коші у вигляді формули Тейлора, припускаючи, що виконуються умови, при яких це представлення справедливе.При цьому запишемо члени, що містять похідні розв'язку до четвертого порядку включно:

. Підставивши у формулу (8.11) , отримаємо: ,де . представимо у вигляді:

,де -деякі коефіцієнти, - числа, що,визначаються,співвідношеннями , , .Можна довести, що для того, аби виконувались рівності (8.12) і (8.13), коефіцієнти повинні мати значення: .Таким чином, ми отримали формули для послідовного обчислення наближених значень шуканого розв'язку в точках : ,де ,а числа визначаються за формулами.Формули (8.14)-(8.16) описують метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності. Можна довести, що похибка цього методу дорівнює .Зауважимо, що наближену оцінку похибки методу Рунге-Кутта на даному відрізку можна одержати за правилом Рунге: , де та -результати обчислень за формулами відповідно з кроками h і 2h.

15.Постановка задачі лінійного програмування з двома невідомими.

Етапи розв’язування задач за допомогою комп’ютера.Для успішного розв’язку будь-якої задачі потрібно чітко визначити послідовність дій. Як це саме зробити - якраз цьому і присвячена ця стаття.З самого початку комп’ютери були створені для арифметичних обчислень і власне кажучи вони тільки те і вміли, що швидко виконували обчислення. Сьогодні комп’ютери використовуються для вивчення явищ природи, управління технологічними процесами, в кіно, телебаченні, у видавництві тощо. І ми зараз розглянемо, як можна використати комп’ютер для розв’язання різних і не тільки розрахункових задач, а також розглянемо основні етапи розв’язання задачі за допомогою комп’ютера.Розв’язання задач в будь-якій сфері діяльності – це завжди отримання деяких результатів. А процес отримання результатів спирається на деякий спосіб дій і пропонує використання визначених засобів. Одним із нових засобів розв’язання різних задач стають сучасні комп’ютери – універсальні пристрої опрацювання і накопичування даних.Універсальність комп’ютерів полягає в тому, що вони можуть опрацьовувати будь-які дані і розв’язувати задачі в будь-якій предметній області.Розв’язання задачі на комп’ютері проходить в декілька етапів.1-й етап – постановка задачі. На цьому етапі будується описова інформаційна модель об’єкта чи процесу. Пошук розв’язання будь-якої задачі розпочинається з аналізу її умови. Результатом аналізу повинна стати чітка постановка задачі, в якій повинно бути відповіді на чотири запитаннях.Що дано?Що потрібно?Які дані допустимі?Які результати будуть правильними, а які ні?Розглянемо процесс розв’язування задачі на конкретному прикладі:Спочатку формулюється умова задачі звичайною мовою.

Потім дається точна постановка задач.Далі слідує саме розв’язок задачі.Задача.Тіло кинуто із швидкістю 100 м/с під кутом a до  горизонту. Визначити його положення в будь-який момент часу.Постановка задачі.Дано:V=100 м/с – початкова швидкість,a- кут кидання ( в градусах),t – час польоту (с).Потрібно:x, y – координати тіла (м)при о<a<90^o, t>0.2 -й етап – розробка математичної моделі.  Математична модель – це математичні відношення, які зв’язують результати з вихідними даними. Правильність результатів розв’язування задачі за допомогою комп’ютера залежить, перш за все, від правильності вибраного методу розв’язку. Метод розв’язку є правильним, якщо для будь-яких допустимих вихідних даних він приводить до результату, які відповідають постановці задачі. Для розв’язування задач за допомогою комп’ютера відповідним методам потрібно дати математичну інтерпретацію. Як правило, будується математична модель задачі. Створюючи математичну модель, потрібно записувати  математичні  відношення (формули, рівняння, нерівності тощо), які зв’язують результати з вихідними даними. Якщо повернутися до попередньої задачі, то математична модель для цієї задачі можна записати так: