12. Обчислення визначених інтегралів методом Сімпсона.

У цьому методі інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка [а,b] на N пар відрізків та, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному такому відрізку , підінтегральна функція f(x) замінюють квадратичною параболою (х) (рис. 7.6 а,б), і обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми площин N криволінійних трапецій S_i . Площа кожної такої криволінійної трапеції визначається за формулою Сімпсона:

. Визначимо за формулою (7.5) площину N криволінійних трапецій S_i:

а) б)

Рисунки 7.6. – Геометрична інтерпретація методу Сімпсона

Тоді сума всіх криволінійних трапецій визначається як

або , (7.7)

де , тобто кількість відрізків повинна бути парною.

Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера.

Нехай потрібно знайти розв'язок диференціального рівняння першого порядку

який задовольняє початкову умову .Припустимо, що для правої частини рівняння (8.1) на деякому відрізку виконуються умови теореми про існування та єдиність розв'язку задачі Коші. Тоді на відрізку існує єдиний розв'язок диференціального рівняння (8.1), що задовольняє початкову умову.Поділимо відрізок на п рівних часткових відрізків точками . Таким чином, довжина кожного часткового відрізка дорівнює h. Метод Ейлера полягає в тому, що інтегральна крива, яка є графіком розв'язку даної задачі Коші, наближено замінюється ламаною. Геометрично це позначає, що шукана інтегральна крива AB наближається ламаної ACDEF, нахил якої на елементарній ділянці [x_i, x_i+1] визначається нахилом інтегральної кривої рівняння (1), випущеної із крапки (x_i, y_i).

Користуючись рівнянням (8.1), обчислимо в початковій точці інтегральної кривої кутовий коефіцієнт її дотичної . Тоді рівняння дотичної до інтегральної кривої в точці запишемо у вигляді .Замінюючи на відрізку шукану інтегральну криву відрізком дотичної (8.3), знайдемо наближене значення розв'язку в точці : , або, оскільки , Підставивши значення та в праву частину рівняння (8.1), знайдемо . На відрізку замінимо інтегральну криву відрізком дотичної, яка проходить через точку і має кутовий коефіцієнт : Підставляючи у рівняння (8.5) х = х₂, знайдемо наближене значення шуканого розв'язку в точці : ,або, оскільки , Продовжуючи цей процес, послідовно одержимо наближені значення розв'язку в точках х₃, х₄, .., х_п = b. При цьому значення розв'язку в точці обчислюємо за формулою Таким чином, отримаємо наближені значення шуканого розв'язку в точках . Ми розглянули випадок . Якщо , то формула (8.7) також справедлива, але в цьому випадку крок розбиття є від'ємним. Метод Ейлера є найпростішим із числових методів розв'язання задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку. Недоліком цього методу є його невисока точність. Можна довести, що метод Ейлера має перший порядок точності, тобто похибка цього методу дорівнює .